Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+2x-6>0\\2x^2-5x+4>0\\mx-5>0\end{matrix}\right.\)
Khi đó pt tương đương:
\(2log_{mx-5}\left(x^2+2x-6\right)=2log_{mx-5}\left(2x^2-5x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x-6=2x^2-5x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2-7x+10=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=2\end{matrix}\right.\)
Thay 2 nghiệm vào 2 điều kiện đầu đều thỏa mãn
\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(mx-5>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2m-5>0\\5m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\frac{5}{2}\\m\le1\end{matrix}\right.\) (ko có m thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}5m-5>0\\2m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\le\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m\le\frac{5}{2}\)
a)\(\log_{\frac{2}{x}}x^2-14\log_{16x}x^3+40\log_{4x}\sqrt{x}=0\)ĐKXĐ: x>0
\(\Leftrightarrow2\log_{\frac{2}{x}}x-42\log_{16x}+20\log_{4x}\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x\frac{2}{x}}-\frac{42}{\log_x16x}+\frac{20}{\log_x4x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x2-1}-\frac{42}{4\log_x2+1}+\frac{20}{2\log_x+1}=0\)
Đặt \(\log_x2=a\left(a\in R\right)\)
Thay vào pt:\(\frac{2}{a-1}-\frac{42}{4a+1}+\frac{20}{2a+1}=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-a+4=0\)(pt này vô nghiệm)
Vậy pt đã cho vô nghiệm
1/Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế:
\(ln\left(4^{3^x}\right)< ln\left(3^{4^x}\right)\Leftrightarrow3^x.ln4< 4^x.ln3\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x< \dfrac{ln3}{ln4}=log_43\)
\(\Rightarrow x>log_{\dfrac{3}{4}}\left(log_43\right)\)
2/ Đề là thế này hả bạn? Đột nhiên con \(x^3\) chui vào trong ngoặc đứng 1 mình làm ko hiểu gì hết \(\sqrt{log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)}\)
Đầu tiên là điều kiện để logarit xác định: \(x>0\)
Ta tìm điều kiện để căn thức xác định: \(log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)\ge0\)
Do \(x>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1>1\\x+2>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow log_{x+1}\left(x+2\right)>0\)
\(\Rightarrow log_x\left(x^3+1\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{ln\left(x^3+1\right)}{lnx}\ge0\)
Lại có \(x>0\Rightarrow x^3+1>1\Rightarrow ln\left(x^3+1\right)>0\)
\(\Rightarrow lnx>0\Rightarrow x>1\)
Vậy TXĐ của pt là \(x>1\)
Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có
\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)
Lập bảng biến thiên ta được
\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)
\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
Với \(-2\le x\le\frac{2}{3}\Rightarrow6x-4\le0\Rightarrow VT\ge VP\) BPT luôn đúng
- Với \(\frac{2}{3}\le x\le3\) ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}\right)^2=12-2x+4\sqrt{2\left(4-x^2\right)}\ge8\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{2}\)
\(VP=\frac{6x-4}{5\sqrt{x^2+1}}< \frac{6x-4}{5}\le\frac{12-4}{5}=\frac{8}{5}< 2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow VT>VP\)
Vậy BPT luôn đúng với mọi \(x\in\left[-2;2\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P=-10\)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6