Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2
f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.
Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.
Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.
Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.
Kiểm tra
Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.
Chú ý:
1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại x=0x=0.
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x=1x=1.
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị
Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A
Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.
B
Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.
D
Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.
Kiểm tra
Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2
f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.
Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.
Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.
Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.
Kiểm tra
Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.
Chú ý:
1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại x=0x=0.
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x=1x=1.
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị
Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A
Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.
B
Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.
D
Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.
Kiểm tra
Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2
f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.
Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.
Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.
Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.
Kiểm tra
Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.
Chú ý:
1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại x=0x=0.
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x=1x=1.
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị
Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A
Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.
B
Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.
D
Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.
Kiểm tra
Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2
f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.
Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.
Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.
Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.
Kiểm tra
Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.
Chú ý:
1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại x=0x=0.
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x=1x=1.
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị
Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A
Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.
B
Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.
D
Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.
Kiểm tra
Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2
f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.
Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.
Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.
Kiểm tra
đáp án câu hỏi:
a.720 b.35 c.5040 d.1680
ta có người thứ nhất có 7 cách người thứ 2 sẽ có 6 cách người thứ 3 sẽ có 5 cách.....
mà mỗi người có thể đổi chỗ cho nhau lên có số cách xếp là:
\(7!=1.2.3.4.5.6.7=5040\)
chọn (c) 5040