Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì xy + yz + zx = 1 ta có :
\(\frac{x-y}{z^2+1}+\frac{y-z}{x^2+1}+\frac{z-x}{y^2+1}=\frac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}+\frac{y-z}{x^2+xy+yz+zx}+\frac{z-x}{y^2+xy+yz+zx}\)
\(=\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{z-x}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(x+z\right)\left(z-x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{0}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(ĐPCM)
ta có : xy + yz +zx = 0
* yz = -xy-zx
\(\Rightarrow\)*xy = - yz - zx
*zx= -xy-yz
ta có : M = \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}+\frac{yz}{x}\)
M = \(\frac{-yz-zx}{z}+\frac{-xy-yz}{y}+\frac{-xy-zx}{x}\)
M = \(\frac{z\times\left(-y-x\right)}{z}+\frac{y\times\left(-x-z\right)}{y}+\frac{x\times\left(-y-z\right)}{x}\)
M = -y - x - x - z - y - z
M = -2y - 2x - 2z
M = -2( x+y+z )
mà x+y+z=-1
M = (-2) . (-1)
M =2
1) VT= \(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xyz}{xyz+z+zx}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{xy}{1+x+xy}+\frac{xyz}{z\left(x+xy+1\right)}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{1+x+xy}+\frac{xy}{1+x+xy}\)
\(=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1\)
Bài 2 giả thiết trên tử làm mell gì có bình phương, nếu có thì tính làm gì nữa :D, kết quả là 2016(x+y+z)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+yz}+\frac{z^4}{z+zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z+xy+yz+xz}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz(1)\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq (xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)\leq (x^2+y^2+z^2)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra:
\(P\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq \frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{z+1}+\frac{z+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3y}{2}\)
\(\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3z}{2}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\geq 9\)
\(\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)(1)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}\cdot\frac{zx}{y}}=2\sqrt{z^2}=2z\)(2)
\(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{zx}{y}}=2\sqrt{x^2}=2x\)(3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế
=> \(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z=10\)
hay \(P\ge10\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 10/3
Vậy MinP = 10