Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)
\(\Rightarrow2P\ge4038\)
\(\Rightarrow P\ge2019\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673
ta có : xy + yz +zx = 0
* yz = -xy-zx
\(\Rightarrow\)*xy = - yz - zx
*zx= -xy-yz
ta có : M = \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}+\frac{yz}{x}\)
M = \(\frac{-yz-zx}{z}+\frac{-xy-yz}{y}+\frac{-xy-zx}{x}\)
M = \(\frac{z\times\left(-y-x\right)}{z}+\frac{y\times\left(-x-z\right)}{y}+\frac{x\times\left(-y-z\right)}{x}\)
M = -y - x - x - z - y - z
M = -2y - 2x - 2z
M = -2( x+y+z )
mà x+y+z=-1
M = (-2) . (-1)
M =2
Vì xy + yz + zx = 1 ta có :
\(\frac{x-y}{z^2+1}+\frac{y-z}{x^2+1}+\frac{z-x}{y^2+1}=\frac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}+\frac{y-z}{x^2+xy+yz+zx}+\frac{z-x}{y^2+xy+yz+zx}\)
\(=\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{z-x}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(x+z\right)\left(z-x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{0}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(ĐPCM)
\(M=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\)
\(=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\)
\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2x^2yz-2xyz^2-2x^2yz}{xyz}\)
\(=\frac{0-2xyz\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=0-2\left(x+y+z\right)\)
\(=0-2.\left(-1\right)=0-\left(-2\right)=2\)
Chúc bạn học tốt.
VT \(\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3.z^3.1}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3.x^3.1}}}{zx}\)( cauchy)
= \(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
\(\ge3\sqrt{3}\)( cauchy)
"=" <=> x = y =z.
Bài này dùng \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) được không nhỉ ??
Em ngại làm lắm cô Chi, cô thử cách này có được không ạ ?
\(xyz+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}\)
Các mấy cái kia cũng biến đổi vậy.
Không chắc nx :((
Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Thật vậy \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo, ta có:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{1}{1+xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+zx}=\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)
\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le\frac{9}{3+xy+xz+yz}\left(1\right)\)
Ta có : \(C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{3+xy+yz+xz}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\frac{9}{4}\)
Dấu " =" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+yz}+\frac{z^4}{z+zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z+xy+yz+xz}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz(1)\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq (xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)\leq (x^2+y^2+z^2)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra:
\(P\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq \frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{z+1}+\frac{z+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3y}{2}\)
\(\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3z}{2}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\geq 9\)
\(\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$