Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo tính chất của phân số, ta có:
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}< \frac{\sqrt{x}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}< \frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\); \(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}< \frac{\sqrt{z}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow VT< \frac{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\) (đpcm)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT trên ta có :
\(\frac{1}{3}VP\le\frac{1}{9}.3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\frac{1}{3}VT\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt !!!
ta có bdt (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))(a+b+c)\(\ge\)9 (dễ dàng chứng minh) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng bdt trên ta được
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{9}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{9}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}\)
Cộng vế theo vế ta đươc đt cần chứng minh
Dấu bằng khi x=y=z
Ta có: \(\frac{1}{2}.2x\left(1-x\right)\left(1-x\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{2x+1-x+1-x}{3}\right]^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-x\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}\left(1-x\right)}\ge\frac{9}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x\). Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được đpcm.
Gọi \(T=...\)
\(T+3=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+1\)
\(T+3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{9}{2}\)\(\Rightarrow\)\(T\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\\\sqrt{z}=c\end{cases}\left(a,b,c>0\right)}\)
Đặt \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\)
\(2\left(P+3\right)=2.\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(2\left(P+3\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\left(P+3\right)\ge3.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)
\(\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow P+3\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow P\ge1,5\)
\(P=1,5\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy \(P_{min}=1,5\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z+x}\ge\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\ge\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\). Cộng theo vế: \(VT\ge2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên VT>2
\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)