Question

[pham trung thanh]

Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và \(S_{ABC}=1\)\(.\)\(CMR\)\(:\)

                        \(2\le BC\le\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{2}\right)\)

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Chứng minh vế phải này ; phương pháp đại số nha

\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=1\Rightarrow AB.AC=2\)

Theo pytago Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

BĐT cần cm : \(BC\le\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow BC\le\sqrt{2}\left(AB+AC\right)-2\)

\(\Leftrightarrow\left(BC+2\right)^2\le2\left(AB+AC\right)^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+4BC+4\le2AB^2+2AC^2+4AB.AC\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2+4BC+4\le2AB^2+2AC^2+4.2\)( \(AB^2+AC^2=BC^2\)Và\(AB.AC=2\))

\(\Leftrightarrow4BC\le AB^2+AC^2+4\)

\(\Leftrightarrow4BC\le BC^2+4\)

\(\Leftrightarrow-BC^2+4BC-4\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(BC-2\right)^2\le0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt đã được chứng minh

Answer 2

[vũ tiền châu]

vì tam giác ABC vuông tại A =>\(BC^2=AB^2+AC^2\ge2AB.AC=4\) (vì \(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AB.AC=2\) )

\(\Rightarrow BC\ge2\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> tam giác ABC vuông cân tại A

^_^