Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo: Câu hỏi của Nguyễn Thị Nhàn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt=)
tth : mẫu nó khác bạn nhé
- mẫu nó là 2bc 2ac 2ab
mẫu mk ko có nhân 2
Em tham khảo link:Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có bổ đề
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
ÁP DỤNG BỔ ĐỀ VÀO P ta có
\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
Vậy P=3
Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)
Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
Cách trâu bò :
Ta có :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)
+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)
Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )
\(\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\le1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{2-a^2-b^2}=1+\frac{2ab}{2c^2+a^2+b^2}\)
\(=1+\frac{2ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le1+\frac{ab}{\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}=1+\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)
\(\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
\(\begin{aligned} \frac{1}{1-ab}&=1+\frac{ab}{1-ab} \le 1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} \\ &=1+\frac{2ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\le 1+\frac{ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\\& \le 1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right). \text{ }(1)\end{aligned}\)
Tương tự \(\frac{1}{1-bc}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)\left(3\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Cho a,b,c khác 0 và thỏa mãn ab+bc+ca=0
Hãy tính : \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
\(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(vì \(a,b,c\ne0\))
Ta có hằng đẳng thức: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
nên \(x+y+z=0\)thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=3\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3\)
Cách I:(((dành cho nhũng ai biết HĐT a³ + b³ + c³ = [(a + b + c)(a² + b²+ c²-ab-bc-ca)+3abc])))
Ta có:
bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³)
=abc[(1/a + 1/b + 1/c)(1/a² + 1/b²+ 1/c²-1/ab-1/bc-1/ca)+3/abc](áp dụng HĐt trên)
=abc.3/(abc)=3
Cách II:
Từ giả thiết suy ra:
(1/a +1/b)³=-1/c³
=>1/a³+1/b³+1/c³=-3.1/a.1/b(1/a+1/b)=3...
=>bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³)
=abc.3/(abc)=3
Mik ko biết có đúng ko??
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) <=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}=-\frac{1}{c^3}\)
<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Khi đó, A = \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)
Xét: \(A=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
Ta có đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)
(Đẳng thức này chứng minh rất dễ nha, chỉ cần bung hết ra là được)
Vậy ta thế \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\)vào đẳng thức:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)+\frac{3}{abc}\)
\(=\frac{3}{abc}\)Vì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)---> Thế cái này vào A:
\(\Rightarrow A=abc.\frac{3}{abc}=3\)
Xoooooooong !!!!! :)))