Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=2.2.2=8\)
a(a-b)=0 +b(b-c)+c(c-a)=0 suy ra (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 suy ra a=b=c
Thay vào A ta đc min A=\(\frac{17}{4}\) tại a=b=c=\(\frac{1}{2}\)
Từ giả thiết => a = 0 hoặc a = b
* TH1: a = 0
b(b-c)+c(c-a)=0 <=> b(b-c)+c2=0 <=> b2 -bc + c2 =0 <=> \(\left(b-\frac{c}{2}\right)^2+\frac{3c^2}{4}=0\)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi b - c/2 =0 và c = 0 => b = c = 0
Vậy a = b = c = 0 => A = 5
* TH2: a = b
b(b-c)+c(c-a)=0 <=> b(b-c)+c(c-b)=0 <=> b2 - 2bc + c2 =0 <=> (b-c)2 =0=> b = c
Vậy a =b=c => A = a3 + a3 +a3 - 3a3 + 3a2 - 3a + 5
= 3a2 - 3a + 5 = (3a2 - 3a + 3/4) + 17/4 = 3. (a-1/2)2 + 17/4
Để A nhỏ nhất => a -1/2 =0 => a = 1/2 => Amin = 17/4
17/4 < 5 => Vậy Amin = 17/4 khi a = b = c = 1/2
\(P=\frac{n^3+2n-1}{n^3+2n^2+2n+1}\)
\(=\frac{n^3+2n-1}{\left(n^3+1\right)+\left(2n^2+2n\right)}\)
\(=\frac{n^3+2n-1}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+2n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{n^3+2n-1}{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}\)
Để phân thức xác định thì \(n+1\ne0\Rightarrow n\ne1\)
(vì \(n^2+n+1=\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\))
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó \(A=2^3=8\)
Nếu \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b\)
Thay vào ta được:
\(A=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Vậy A = 8 hoặc A = -1
Ta có:a2+b2+c2\(\ge\)-ab-bc-ac
Thật vậy:
a2+b2\(\ge\)-2ab
b2+c2\(\ge\)-2bc
a2+c2\(\ge\)-2ac
Cộng vế theo vế, ta được:2(a2+b2+c2)\(\ge\)-2ab-2ac-2bc=>a2+b2+c2\(\ge\)-ab-bc-ac
M=a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)\(\ge\)2(a+b+c)
Lại có:2(a+b+c)\(\ge\)-a2-b2-c2-3
Suy ra:M\(\ge\)-a2-b2-c2-3=-4
Vậy GTNN của M=-4
Lê Hồ Trọng Tín \(2\left(a+b+c\right)\ge-a^2-b^2-c^2-3\) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=-1 thay vào M không ra -4 nha, bài làm sai rồi
phân tích n^3 + 3n^2 + 2n thảnh n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6 vì chia hết cho 2 và 3 chia hết cho 15 là chia hết cho 3 với 5 nha
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
\(TH1:a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1\)
\(TH2:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Rightarrow}a=b=c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=1;\frac{b}{c}=1;\frac{c}{a}=1\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Vậy .......................
GT không hợp lí
Theo định lí cosi 3 số
a^3+b^3+c^3>=3*canbacba(a^3*b^3*c^3)
<=> a^3+b^3+c^3>=3abc
dấu"=" khi a=b=c
trái Gt a,b,c đôi một khác nhau
\(a^3-b^3-c^3=3abc\)
\(\Rightarrow a^3-\left(b+c\right)^3+3bc\left(b+c\right)-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left[a^2+a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\right]-3bc\left(a-b-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left(a^2+ab+ac+b^2+2bc+c^2-3bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b-c=0\\a^2+b^2+c^2+ab-bc+ca=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b+c\\\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b+c\\a=-b=-c\end{matrix}\right.\)
*Với \(a=b+c\):
\(S=\left(1-\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1-\dfrac{c}{a}\right)=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+c\right)\left(a-c\right)}{abc}=\dfrac{\left(-c\right).a.b}{abc}=-1\)
*Với \(a=-b=-c\):
\(S=\left(1-\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1-\dfrac{c}{a}\right)=\left(1-\dfrac{-b}{b}\right)\left(1+\dfrac{c}{c}\right)\left(1-\dfrac{c}{-c}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
:))