Chứng minh rằng
cosA + cosB + cosC \(\le\dfrac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
1
30 tháng 3 2017
Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\). Khi đó \(A\ge\dfrac{\pi}{3};C\le\dfrac{\pi}{3}\)
Vì \(\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\) và \(\pi\ge A+B=\pi-C\ge\dfrac{2\pi}{3}\) nên
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\ge A+B\ge\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+0=A+B+C=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Ta có: \(f"\left(x\right)=-\cos x< 0\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) lõm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Khi đó, theo BĐT Karamata ta có:
\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(0\right)\le f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(C\right)\le3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
Hay \(\cos A+\cos B+\cos C\le\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 2 2021
\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)
2 tháng 3 2021
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇒ VT = \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)
⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
1 tháng 7 2018
Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\)
=> \(tanA\ge tanB\ge tanC;cosA\le cosB\le cosC\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(\left(\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\right)\left(\dfrac{cosA+cosB+cosC}{3}\right)\ge\dfrac{tanA\cdot cosA+tanB\cdot cosB+tanC\cdot cosC}{3}\)
=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\)
mặt khác ta có: \(tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC\)
=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA\cdot tanB\cdot tanC}{3}\left(đpcm\right)\)
đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
HN
2 tháng 7 2018
Đề sai.
\(tan90^o=\dfrac{1}{0}\) (không thể chia cho không) nên đề bài sai với trường hợp tam giác vuông rồi.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\) Tam giác vuông tại A theo Pitago đảo
HP
1 tháng 7 2021
1.
\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)
\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)
Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát
\(cosA+cosB+cosC\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}+1-2sin^2\dfrac{C}{2}-\dfrac{3}{2}\le0\)
\(\Leftrightarrow-2sin^2\dfrac{C}{2}+2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\)
\(\Leftrightarrow-2x^2+2xcos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\left(1\right)\left(x=sin\dfrac{C}{2}\right)\)
\(\Delta'=cos^2\dfrac{A-B}{2}-1\)
mà \(0\le cos^2\dfrac{A-B}{2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\Delta'\le0\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2x^2+2xcos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\left(đúng\right)\)
\(\Leftrightarrow cosA+cosB+cosC\le\dfrac{3}{2}\left(dpcm\right)\)