Cho x,y là các số thực dương.Chứng minh:1/x+1/y≥4/x+y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
2
E
11 tháng 5 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\frac{x+y}{xy}>=\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\left(x+y\right)^2>=4xy< =>\left(x-y\right)^2>=0.\)(luôn đúng)
dấu "=" xảy ra khi x=y
DL
11 tháng 5 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\frac{4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4xy\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=1
NV
1
28 tháng 3 2018
đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4
thay vào vế trái ta có
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)
Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)
------------
Cách khác:
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3
- - -
Côsi cho 3 số:
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)
Côsi cho 3 số:
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)
Lấy (1*) *(2*) ta có:
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9
=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4
thay vào P ta có:
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z
BT
1
CT
14 tháng 2 2019
giờ mik ns ý chính nha bn
bn chứng minh bất đẳng thức
1/x+1/y lớn hơn hoặc bằng 4/(x+y)
cm bất đẳng thức này bằng cách quy đồng rồi nhân chéo lên
rồi ra thôi
hok tốt
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
Ta thấy : \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\xy\left(x+y\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow dpcm}\)
TK MK NKA !!!