NV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NQ
1
11 tháng 5 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
Ta thấy : \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\xy\left(x+y\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow dpcm}\)
TK MK NKA !!!
NQ
2
E
11 tháng 5 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\frac{x+y}{xy}>=\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\left(x+y\right)^2>=4xy< =>\left(x-y\right)^2>=0.\)(luôn đúng)
dấu "=" xảy ra khi x=y
DL
11 tháng 5 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\frac{4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4xy\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=1
21 tháng 4 2019
nếu đề bài có sai thì mong sửa giúp và trả lời hộ mình nha
14 tháng 4 2022
Sửa đề: \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\ge\dfrac{3}{4}\)
Đặt \(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
\(P=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{y+1}{y+1}-\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z+1}{z+1}-\dfrac{1}{z+1}\)
\(P=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\)
\(P=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{x+y+z+3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{4}\) ( vì \(x+y+z=1\) )
\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=y+1=z+1\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(Max_P=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
27 tháng 10 2019
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)
Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y
Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.
=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)
=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.
Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{x+y}\)
Dấu "="⇔ \(x=y\)