Cho \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)
Chứng minh rằng \(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=\left(x+y+z\right)^{2019}\)
GIÚP MIK VỚI
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: xyz+(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)
Cm:
VT: xyz+(x+y)(y+z)(z+x)
=xyz+xyz+x2z+x2y+y2x+y2z+z2x+z2y+xyz
=xyz+x2z+x2y+xyz+y2z+y2x+xyz+z2x+z2y
=(x+y+z)(xy+yz+xz)
AD bổ đề và đề bài cho
=> (x+y)(y+z)(z+x)=0
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+z=0\\y+z=0\end{matrix}\right.\)
1. x+y=0
ta có x2019+y2019=(x+y)(x2018-x2017y+...+y2018)=0
=> x2019+y2019+z2019=z2019
Có (x+y+z)2019=z2019
=> x2019+y2019+z2019= (x+y+z)2019
Làm tương tự với 2 trường hợp còn lại ta được đpcm
Có \(y^2+2019=y^2+xy+yz+zx=y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(x^2+2019=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(z^2+2019=z^2+xy+yz+xz=z\left(z+y\right)+x\left(y+z\right)=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)
Có \(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right)\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right)\left(x^2+2019\right)}{y^2+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right)\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)
=\(x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
=\(x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=\(x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
=\(x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\) (vì x,y,z >0)
= xy+xz+xy+yz+xz+yz
=2(xy+xz+yz)=2.2019(vì xy+xz+yz=2019)
=4038
Vậy P=4038
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
<=> [(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] . 1/2 = 0
<=> x = y = z
Thay vào pt thứ 2...
\(x^2=yz\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\left(1\right)\)
\(y^2=xz\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Thay y, z bằng x \(\Rightarrow M=\frac{3.x^{2019}}{\left(3x\right)^{2019}}=\frac{3x^{2019}}{3^{2019}.x^{2019}}=\frac{1}{3^{2018}}\)
Ta có :
\(VT=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\)
\(=\left(xy+y^2+xz+yz\right)\left(z+x\right)+xyz\)
\(=xyz+y^2z+xz^2+yz^2+x^2y+y^2x+x^2z+xyz+xyz\)
\(=\left(x^2y+xyz+x^2z\right)+\left(y^2x+y^2z+xyz\right)+\left(xyz+z^2y+z^2x\right)\)\(=x\left(xy+yz+zx\right)+y\left(xy+yz+zx\right)+z\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=VP\)
\(\left(đpcm\right)\)
:D
Lời giải:
Từ điều kiện \(x+y+z+2=xyz\) ta có một đẳng thức rất đẹp là \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2(*)\)
(lớp 9 mình đã rất sung sướng khi phát hiện ra nó, dù không mới mẻ. Tất nhiên không thể tự nhiên mà có được đẳng thức như thế này, nó tùy thuộc vào khả năng suy luận ngược hoặc thói quen biến đổi các đẳng thức cơ bản)
Khi đó, áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((x+1+y+1+z+1)\left(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\right)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Leftrightarrow 2(x+y+z+3)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+6\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)
Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Trả lời:
Ta có: (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz
=>(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0
=> (x+y)(y+z)(z+x)=0
=> x=-y (1)
y=-z (2)
z= -x
ta có: x2019+y2019+z2019=x2019+(-z)2019+z2019=x2019 = (x-z+z)2019= (x+y+z)2019
Vậy kết luận, khi (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz thì x2019+y2019+z2019=(x+y+z)2019