Question

[Núi non tình yêu thuần khiết]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA và AB.

a, CMR: \(AK^2+BH^2+CI^2=AI^2+CH^2+BK^2\)

b, Tìm vị trí của M sao cho tổng \(AK^2+BH^2+CI^2\)đạt GTNN.

Answer 1

[Hoàng Thị Ánh Phương]

a ) Áp dụng đinh lí Pytago vào các tam giác vuông ta được :
\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)

\(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)

\(=AI^2+BK^2+CH^2\)

b ) Đặt \(B=AK^2+BH^2+CI^2\)

\(\Rightarrow2B=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)

Ta có BĐT sau : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( tự chứng minh )

Áp dụng ta được : \(2B\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)

\(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\) không đổi

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow M\) là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC

Chúc bạn học tốt !!