Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Áp dụng định lí Pytago vào câc tam giác vuông ta được
\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)
\(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)
\(=AI^2+BK^2+CH^2\)
b, Đặt \(P=AK^2+BH^2+CI^2\)
\(\Rightarrow2P=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)
\(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)
\(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)
Ta có bđt sau \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(tự chứng minh)
Áp dụng ta được \(2P\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)
\(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\)không đổi
Dấu "=" xảy ra <=> M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC
a:
Gọi O là trung điểm của CI
Xét tứ giác CKIH có
\(\widehat{CKI}+\widehat{CHI}=90^0+90^0=180^0\)
=>CKIH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CI
=>C,K,H,I cùng thuộc (O)
b: Xét (O) có
OI là bán kính
AB\(\perp\)OI tại I
Do đó; AB là tiếp tuyến của (O)
c: Ta có: ΔOKI cân tại O
mà OE là đường cao
nên OE là phân giác của góc KOI
Xét ΔOKE và ΔOIE có
OK=OI
\(\widehat{KOE}=\widehat{IOE}\)
OE chung
Do đó: ΔOKE=ΔOIE
=>\(\widehat{OKE}=\widehat{OIE}\)
=>\(\widehat{OKE}=90^0\)
=>EK là tiếp tuyến của (O)
b: Xét ΔAKB vuông tại K và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC
AK chung
Do đó: ΔAKB=ΔAKC
Suy ra: KB=KC
Xét ΔMBK vuông tại M và ΔNCK vuông tại N có
KB=KC
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
Do đó: ΔMBK=ΔNCK
Suy ra: KM=KN(1)
Xét ΔAKB vuông tại K có KM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot MB=KM^2\left(2\right)\)
Xét ΔAKC vuông tại K có KN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot NC=KN^2\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM\cdot MB=AN\cdot NC\)
a. Ta có tứ giác AIHK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{IAH}\)
Mà \(\widehat{IAH}=\widehat{KCH}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\))
\(\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{KCH}\)
b.
Gọi D và E lần lượt là trung điểm IH và HK
\(\Rightarrow\) MD và NE lần lượt là đường trung bình các tam giác BIH và HKC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MD\perp HI\\MD=\dfrac{1}{2}BI\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}NE\perp HK\\NE=\dfrac{1}{2}CK\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{MIH}=\dfrac{1}{2}MD.IH=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BI.IH=\dfrac{1}{2}S_{BIH}\\S_{NHK}=\dfrac{1}{2}NE.HK=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}CK.HK=\dfrac{1}{2}S_{HCK}\end{matrix}\right.\)
Đồng thời AIHK là hình chữ nhật \(\Rightarrow S_{IHK}=\dfrac{1}{2}S_{AIHK}\)
Do đó:
\(S_{MNKI}=S_{MIH}+S_{NHK}+S_{IHK}=\dfrac{1}{2}\left(S_{BIH}+S_{AIHK}+S_{HCK}\right)=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\) (đpcm)
a ) Áp dụng đinh lí Pytago vào các tam giác vuông ta được :
\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)
\(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)
\(=AI^2+BK^2+CH^2\)
b ) Đặt \(B=AK^2+BH^2+CI^2\)
\(\Rightarrow2B=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)
\(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)
\(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)
Ta có BĐT sau : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( tự chứng minh )
Áp dụng ta được : \(2B\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)
\(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\) không đổi
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow M\) là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC
Chúc bạn học tốt !!