Cho số thực x thỏa mãn : \(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\)
Chứng minh: x3 = 8x - 3 và tính A = \(\frac{x^5-3x^3-10x+12}{x^4+7x^2+15}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
1
28 tháng 1
\(\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{1}{4}\)
=>\(x^2+x+1=4x\)
=>\(x^2-3x+1=0\)
\(\dfrac{x^5-3x^3-10x+12}{x^4+7x^2+15}\)
\(=\dfrac{x^5-3x^4+x^3+3x^4-9x^3+3x^2+5x^3-15x^2+5x+12x^2-36x+12+21x}{x^4+7x^2+15}\)
\(=\dfrac{x^3\left(x^2-3x+1\right)+3x^2\left(x^2-3x+1\right)+5x\left(x^2-3x+1\right)+12\left(x^2-3x+1\right)+21x}{x^4+7x^2+15}\)
\(=\dfrac{21x}{x^4-3x^3+x^2+3x^3-9x^2+3x+15x^2-45x+15+42x}\)
\(=\dfrac{21x}{x^2\left(x^2-3x+1\right)+3x\left(x^2-3x+1\right)+15\left(x^2-3x+1\right)+42x}\)
\(=\dfrac{21x}{42x}=\dfrac{1}{2}\)
23 tháng 1 2017
Ta có: \(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow4x=x^2+x+1\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(A=\frac{\left(x^5-3x^4+x^3\right)+\left(3x^4-9x^3+3x^2\right)+\left(5x^3-15x^2+5x\right)+\left(12x^2-36x+12\right)+21x}{\left(x^4-3x^3+x^2\right)+\left(3x^3-9x^2+3x\right)+\left(15x^2-45x+15\right)+42x}\)
\(A=\frac{21x}{42x}=\frac{1}{2}\)
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
\(\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow4x=x^2+x+1\) (1)
Thay \(x=1\) vào thấy không đúng \(\Rightarrow x-1\ne0\) , nhân 2 vế của (1) với \(x-1:\)
\(4x\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x=x^3-1\Rightarrow x^3=4x^2-4x+1\)
Mặt khác từ (1) ta cũng có \(x^2=3x-1\) (2)
\(\Rightarrow x^3=4\left(3x-1\right)-4x+1=8x-3\) (đpcm)
\(\Rightarrow x^3-8x+3=0\)
\(A=\dfrac{x^5-8x^3+3x^2+5x^3-40x+15-3x^2+30x-3}{x^4-8x^2+3x+15x^2-3x+15}\)
\(A=\dfrac{x^2\left(x^3-8x+3\right)+5\left(x^3-8x+3\right)-3x^2+30x-3}{x\left(x^3-8x+3\right)+15x^2-3x+15}\)
\(A=\dfrac{-3x^2+30x-3}{15x^2-3x+15}=\dfrac{-3\left(3x-1\right)+30x-3}{15\left(3x-1\right)-3x+15}\)
\(A=\dfrac{21x}{42x}=\dfrac{1}{2}\)