MỘT ĐỐNG LUÔN NÈ!!
Cho \(c\ge3,bc\ge6,abc\ge6.\)Tìm MIN \(P=a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2017
Lời giải:
Vì \(a\geq 3, ab\geq 6\Rightarrow b>0\)
\(ab\geq 6, abc\geq 6\Rightarrow c>0\)
Áp dụng BĐT Am-Gm cho các số không âm:
\(a+b+c=\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c\geq 6\sqrt[6]{\frac{a^3b^2c}{3^3.2^2}}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\geq 6\sqrt[6]{\frac{a.ab.abc}{3^3.2^2}}\geq 6\sqrt[6]{\frac{3.6.6}{3^3.2^2}}=6\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(3,2,1)\)
18 tháng 9 2017
a>=3và ab>=6=>b>=6:3=2
abc>=6 và ab>=6=>c>=6:6=1
a>=3
b>=2
c>=1
cộng theo vế có điều cần c/m
T
11 tháng 8 2017
\(P=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}+\dfrac{\sqrt[3]{b-3}}{b}+\dfrac{\sqrt[4]{c-6}}{c}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\left(a-2\right).2}}{a\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt[3]{\left(b-3\right).\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}}}{b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{\sqrt[4]{\left(c-6\right).2.2.2}}{c\sqrt[3]{8}}\)
\(\le\dfrac{a-2+2}{2a\sqrt{2}}+\dfrac{b-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}}{3b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{c-6+2+2+2}{4c\sqrt[4]{8}}\)
\(=\dfrac{a}{2a\sqrt{2}}+\dfrac{b}{3b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{c}{4c\sqrt[4]{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}}\)
Vậy \(P_{max}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=2\\b-3=\dfrac{3}{2}\\c-6=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=\dfrac{9}{2}\\c=8\end{matrix}\right.\)
11 tháng 8 2017
\(P=\dfrac{bc\sqrt{a-2}+ac\sqrt[3]{b-3}+ab\sqrt[4]{c-6}}{abc}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}+\dfrac{\sqrt[3]{b-3}}{b}+\dfrac{\sqrt[4]{c-6}}{c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(=\dfrac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\sqrt[3]{2\left(b-3\right)}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\sqrt[4]{2\left(c-6\right)}}{\sqrt[4]{2}c}\)
\(\le\dfrac{\dfrac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\dfrac{2+b-3+1}{3}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\dfrac{2+c-6+1+1+1+1}{4}}{\sqrt[4]{2}c}\)
\(=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\dfrac{b}{3}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\dfrac{c}{4}}{\sqrt[4]{2}c}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{2}}\)
C
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)
Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)
\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
DD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 11 2019
a/ Chỉ đúng với các số thực dương, nếu a;b;c dương:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{c}+\frac{2\sqrt{bc}}{a}+\frac{2\sqrt{ac}}{b}\ge2.3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca}}{abc}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
DN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{4}{9}a^2+b^2\geq \frac{4}{3}ab\geq \frac{4}{3}.6=8$
$\frac{5}{9}a^2\geq \frac{5}{9}.3^2=5$
Cộng theo vế:
$S\geq 8+5=13$
Vậy $S_{\min}=13$ khi $(a,b)=(3,2)$
L
0
NT
1
3 tháng 2 2020
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{ca}}=2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{cb}}=2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge2+2+2=6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow S\ge6\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có : \(\hept{\begin{cases}c\ge3\left(1\right)\\bc\ge6\left(2\right)\\abc\ge6\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow b\ge2\)
\(\text{Từ (2) và (3)}\Rightarrow a\ge1\)
Ta có \(P=a+b+c\ge1+2+3=6\)
Dấu "=" <=> a = 1 ; b = 2 ; c = 3
Vậy ...................................................
cậu suy kiểu gì mà từ (1) và (2) lại ra \(b\ge2\)
từ (2) \(\Rightarrow b\ge\frac{6}{c}\)mà \(c\ge3\)cơ mà!!!
Thanks