Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy ta được \(2\sqrt{bc}\le b+c\)=> \(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}\)
Áp dụng BĐT tương tự ta được đẳng thức
\(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+c+a}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có
\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2a+b+c}{8}\ge a;\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2b+a+c}{8}\ge b;\frac{2c^2}{2c+a+b}+\frac{2c+a+b}{8}\ge c\)
Cộng theo vế ta được
\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Vậy MinP=\(\frac{3}{2}\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
bài 2 là tìm giá trị lớn nhất ạ!
ta có A>=0. xét 100=xy+z+xz\(\ge3\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx}\)
\(\Rightarrow100\ge3\sqrt[3]{A^2}\Rightarrow\left(\frac{100}{3}\right)^3\ge A^2\Rightarrow A< \frac{100}{3}\sqrt{\frac{100}{3}}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi xy=yz=zx
Bài 1 nhìn vô đoán ngay a=3,b=2 -> S=13!
AM-GM:\(\frac{5}{9}\left(a^2+9\right)\ge\frac{10}{3}a;\text{ }\frac{4}{9}\left(a^2+\frac{9}{4}b^2\right)\ge\frac{4}{3}ab\)
\(\rightarrow a^2+b^2+5\ge\frac{10}{3}a+\frac{4}{3}ab\ge\frac{10}{3}\cdot3+\frac{4}{3}\cdot6=18\)
\(\Rightarrow S=a^2+b^2\ge13\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a=3, b=2.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P=x+\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}y+2013\ge2\sqrt{x.\frac{2}{3}y}+\frac{1}{3}y+2013\)
\(\ge2\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\frac{1}{3}.3+2013=2\sqrt{4}+1+2013=4+2014=2018\)
Nên GTNN của P là 2018 đạt được khi \(x=2,y=3\)
\(x+y\ge2\sqrt{x.y}\)mà \(x\cdot y\ge6\)
\(\Rightarrow\)\(x+y\ge2\sqrt{x.y}\ge2\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow\)\(x+y+2013\ge2\sqrt{x\cdot y}+2013\ge2\sqrt{6}+2013\)
dấu = xảy ra khi \(x+y+2013=2\sqrt{x\cdot y}+2013=2\sqrt{6}+2013\)
\(\Rightarrow\)Min \(p=2\sqrt{6}+2013\)
Bạn xem hộ mình sai ở đâu giùm nha?
Ta có : \(S=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\right)\)
\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3\)( áp dụng bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 3 )
\(=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 , y = 2
Vậy MinS = 9/2, đạt được khi x = 1 , y = 2
GT => (a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)+(b+1)+(c+1)
Đặt \(\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{1+b}=y,\frac{1}{c+1}=z\), ta cần tìm min của\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)với xy+yz+zx=1
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)Mà (x+y)(y+z)(z+x) >= 8/9 (x+y+z)(xy+yz+xz) >= \(\frac{8\sqrt{3}}{9}\) nên \(M\)=< \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\),dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\(\sqrt{3}-1\)
Theo giả thiết, ta có: \(abc+ab+bc+ca=2\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=a+b+c+3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{1}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{1}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}=1\)
Đặt \(\left(a+1;b+1;c+1\right)\rightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{x};\frac{\sqrt{3}}{y};\frac{\sqrt{3}}{z}\right)\). Khi đó giả thiết bài toán được viết lại thành xy + yz + zx = 3
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{a^2+2a+2}=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{\left(a+1\right)^2+1}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1+\frac{1}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{x}+\frac{x}{\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{3}\left(\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3}\right)\)
\(=\sqrt{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x^2+xy+yz+zx}\right)=\sqrt{3}\Sigma_{cyc}\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{\sqrt{3}}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)hay \(a=b=c=\sqrt{3}-1\)
1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)
\(\Rightarrow2a-b⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)
\(\Rightarrow3b^2⋮9\)
\(\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow a⋮3\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{4}{9}a^2+b^2\geq \frac{4}{3}ab\geq \frac{4}{3}.6=8$
$\frac{5}{9}a^2\geq \frac{5}{9}.3^2=5$
Cộng theo vế:
$S\geq 8+5=13$
Vậy $S_{\min}=13$ khi $(a,b)=(3,2)$