AV
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
C
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)
Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)
\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
DN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{4}{9}a^2+b^2\geq \frac{4}{3}ab\geq \frac{4}{3}.6=8$
$\frac{5}{9}a^2\geq \frac{5}{9}.3^2=5$
Cộng theo vế:
$S\geq 8+5=13$
Vậy $S_{\min}=13$ khi $(a,b)=(3,2)$
L
0
NT
1
15 tháng 10 2017
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
15 tháng 10 2017
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 11 2019
Để cho dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\left(\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)\ge2.3\sqrt[3]{xyz}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
4 tháng 2 2016
1) TA có
\(\frac{a^2+a}{b+c}+\frac{b^2+b}{c+a}+\frac{c^2+c}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
(*) Xét BĐT : \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với x ; m ; y ; n > 0
( cái này xét hiệu là ok )
(*)ÁP dụng BĐT ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9}{2}\)
Dấu ''= '' xảy ra khi a = b= c = 3
(*) TA cần cm \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (1)
Đặt b + c = x ; c+a = y ; a+ b = z (x; y; z > 0 )
=> \(\frac{x+y+z}{2}=a+b+c\) => a = \(\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
(1) <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\) <=> \(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{z}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x = y= z <=> a = b =c = 3
Vậy BĐT đc cm
4 tháng 2 2016
(*) Áp dụng BĐT \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\) với a ; b ;m ;n > 0
Xét BĐT
\(\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) \(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\)(1)
( Vì\(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\))
(*) CM BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) ( biến đổi tương dương )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9^2}{3}=27\)
BĐT đc CM đấu '' = ' ' xảy ra khi a = b =c = 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
2.
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
\(P=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+\frac{y}{2}+\frac{8}{y}+\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}\)
\(P=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{18x}{2x}}+2\sqrt{\frac{8y}{2y}}+\frac{3}{2}.6=19\)
\(P_{min}=19\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
1.
Do \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-abc-a-b-c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
Mặt khác \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\le b\\c^3\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\le1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Ta có : \(\hept{\begin{cases}c\ge3\left(1\right)\\bc\ge6\left(2\right)\\abc\ge6\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow b\ge2\)
\(\text{Từ (2) và (3)}\Rightarrow a\ge1\)
Ta có \(P=a+b+c\ge1+2+3=6\)
Dấu "=" <=> a = 1 ; b = 2 ; c = 3
Vậy ...................................................
cậu suy kiểu gì mà từ (1) và (2) lại ra \(b\ge2\)
từ (2) \(\Rightarrow b\ge\frac{6}{c}\)mà \(c\ge3\)cơ mà!!!
Thanks