Cho x,y>0 và x+y\(\le\)\(\dfrac{4}{3}\) . Tìm GTNN của biểu thức S=\(x+y\)+\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
31 tháng 5 2021
Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)
⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)+ \(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
LS
1
MH
8 tháng 5 2022
ÁP dụng BĐT Mincopxki, ta có:
\(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y\right)^2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}}}=\sqrt{\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{xy}}\) (cô si)
\(\ge\sqrt{\dfrac{2.4xy}{xy}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\left(Côsi\right)\)
Min \(A=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y\)
2 tháng 11 2018
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)
Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
11 tháng 5 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có
\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)
\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
11 tháng 5 2023
Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
Em làm đại ạ ; có sai sót mong anh chị bỏ qua ạ !!
\(S=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\\ =\left(x+\dfrac{4}{9x}\right)+\left(y+\dfrac{4}{9y}\right)+\dfrac{5}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\\ \ge2.\sqrt{x.\dfrac{4}{9x}}+2.\sqrt{y.\dfrac{4}{9y}}+\dfrac{5}{9}.\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\\ =\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{9}.\dfrac{4}{x+y}\\ =\dfrac{8}{3}+\dfrac{20}{9\left(x+y\right)}\\ x+y\le\dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow9\left(x+y\right)\le12\\ \Leftrightarrow\dfrac{20}{9\left(x+y\right)}\ge\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow S\ge\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{13}{3}\)
/Dấu = xảy ra khi x=y=2/3
cảm ơn nhé