Question

[Duy Cr]

Cho x>0, y>0 thoã x+y≤1. Tìm GTNN của biểu thức

A=\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy\)

Answer 1

[Nguyễn Xuân Tiến 24]

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:

\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=

\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)

Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)