Question

[Phan Hải Anh]

Cho \(\Delta ABC\)có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE 

CMR : \(\widehat{B}=\widehat{C}\)hoặc \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^o\)

Answer 1

[Bảo Ngọc]

Cách 1:

Kẻ \(IH\perp AB,IK\perp AC\).Ta có \(\Delta IHE=\Delta IKD\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

 \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IDK}\)          (1)

Xét 4 trường hợp :

a) H thuộc đoạn BE ,K thuộc đoạn CD ( hình a)

Từ (1) \(\Rightarrow\widehat{A}+\frac{\widehat{C}}{2}=A+\widehat{\frac{B}{2}}\) ,do đó \(\widehat{C}=\widehat{B}\)

b) H thuộc đoạn BE,K thuộc đoạn AD.Chứng min tương tự như phần a ta được \(\widehat{C}=\widehat{B}\) 

c)  H thuộc đoạn AE ,K thuộc đoạn AD (hình b )

Từ (1) ta có : 

\(\widehat{A}+\frac{\widehat{C}}{2}=A+\widehat{\frac{B}{2}}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{\frac{B}{2}}+\widehat{\frac{C}{2}}\)

\(\Rightarrow2\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

\(\Rightarrow3\widehat{A}=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=60^o,\widehat{B}+\widehat{C}=120^o.\)

d) H thuộc đoạn AE,K thuộc đoạn CD.Chứng min tương tự như phần c ta được : \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^o\).

Cách 2

Không mất tín tổng quát,giả sử \(AD\ge AE\).Xét 2 trường hợp :

a) Trường hợp AD= AE ( hình c)

\(\Delta ADI=\Delta AEI\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{ADI}=\widehat{AEI}\)

\(\Delta ADB\)và \(\Delta AEC\) có \(\widehat{A}\) chung,\(\widehat{ADI}=\widehat{AEI}\)nên \(\widehat{B}_1=\widehat{C}_1.\)

Do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

b) Trường hợp AD>AE.Lấy F trên AD sao cho À=AE (hình d)

\(\Delta AFI=\Delta AEI\left(c.g.c\right)\Rightarrow IF=IE,\widehat{F_1}=\widehat{E}_1\)

Do IE=ID nên IF =ID,do đó \(\widehat{F_1}=\widehat{D_1}\).

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\),tức là \(\widehat{A}+\widehat{\frac{B}{2}}=\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}.\)

Biến đổi như cách 1,ta được \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^o\).

P/s:Hình xấu :)