Question

[_ Yuki _ Dễ thương _]

Tam giác ABC có \(\widehat{B}=60^o\). Hai tia phân giác AD và CE của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) cắt nhau ở I. CMR : ID = IE

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Từ $I$ kẻ $IK, IL$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$

Vì $I$ là giao điểm của hai tia phân giác $AD$ và $CE$ nên đồng thời $I$ cũng nằm trên tia phân giác của góc $ABC$

Do đó khoảng cách từ $I$ đến $AB$ bằng khoảng cách từ $I$ đến $AC$

\(\Leftrightarrow IK=IL\)

Lại có:

\(\angle IEK=\angle CEA=180^0-\angle EAC-\angle ACE=180^0-\angle BAC-\frac{\angle ACB}{2}\)

\(\angle IDL=\angle ADB=\angle DAC+\angle DCA=\frac{\angle BAC}{2}+\angle ACB\)

\(\Rightarrow \angle IEK-\angle IDL=180^0-\frac{3}{2}(\angle BAC+\angle ACB)\)

\(=180^0-\frac{3}{2}(180^0-60^0)=0\)

\(\Rightarrow \angle IEK=\angle IDL\)

Xét tam giác $IEK$ và tam giác $IDL$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle IEK=\angle IDL\\ \angle IKE=\angle ILD=90^0\\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle IEK\sim \triangle IDL\)

\(\Rightarrow \frac{IE}{ID}=\frac{IK}{IL}=1\Rightarrow IE=ID\)