Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b)
nhân 2 vế của (1) với 2
=> ( x -y)2 + ( x -z)2 + ( y-z)2 = 0
=> x =y =z
thay vào (2) => x =y =z = 3
Áp dụng BĐT a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca
x^4 + y^4 + z^4 >= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 >= xy^2z + x^2yz + xyz^2 = xyz(x+y+z) = xyz
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z
Thay vào (1) ta có 3x = 1 <=> x = 1/3 => y = z = 1/3
\(\hept{\begin{cases}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=0\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\)
=>\(\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2=-\frac{3}{2}\) vo lý
=> hệ vô nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
ta nhân vế đầu cho 2 ta được:
\(2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
mà \(\left(x-y\right)^2>=0;\left(y-z\right)^2>=0;\left(z-x\right)^2>=0\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
thế vào 2 ta có \(x^{2001}+x^{2001}+x^{2001}=3^{2002}\Leftrightarrow x^{2002}=3^{2002}\Leftrightarrow x=3\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\left(1\right)\\x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}=3^{2004}\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta có: \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)
Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\); \(\left(y-z\right)^2\ge0\); \(\left(x-z\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)
Thay \(x=y=z\)vào (2) ta được:
\(3.x^{2003}=3^{2004}\)\(\Rightarrow x^{2003}=3^{2003}\)\(\Rightarrow x=3\)\(\Rightarrow x=y=z=3\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là \(x=y=z=3\)