Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PT (1) \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Nhận thấy VT\(\ge\)0 với mọi x,y,z
Dấu = xảy ra <=> x=y=z
Thay x=y=z vào pt (2) ta được:
\(3x^{2021}=3^{2022}\) \(\Leftrightarrow x^{2021}=3^{2021}\) \(\Leftrightarrow x=3\)
\(\Rightarrow x=y=z=3\)
Vậy (x;y;z)=(3;3;3)
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x^2-|x|=|yz|\\ y^2-|y|=|xz|\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-y^2-(|x|-|y|)=|yz|-|zx|\)
\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|)-(|x|-|y|)=|z|(|y|-|x|)\)
\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|-1+|z|)=0\)
Từ đây xét các TH:
TH1: \(|x|-|y|=0\Leftrightarrow |x|=|y|\)
Thay vào pt đầu tiên: \(x^2-|x|=|yz|=|xz|\)
\(\Leftrightarrow |x|(|x|-1-|z|)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} |x|=0\\ |x|-1-|z|=0\end{matrix}\right.\)
+) Với \(|x|=0\Rightarrow x=0\rightarrow y=0\).
Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=0\Leftrightarrow z=0; z=\pm 1\)
+) Với \(|x|-1-|z|=0\Leftrightarrow |y|=|x|=|z|+1\)
Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=(|z|+1)^2=z^2+1+2|z|\)
\(\Leftrightarrow 1+3|z|=0\) (vô lý)
TH2: \(|x|+|y|+|z|=1\)
\(\Rightarrow |x|-1=-(|y|+|z|)\leq 0\)
Khi đó xét PT(1): \(|yz|=x^2-|x|=|x|(|x|-1)\) ta thấy:
VP luôn nhỏ hơn hoặc bằng $0$
Mà vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng $0$. Do đó để hai vế bằng nhau thì:
\(|yz|=|x|(|x|-1)=0\). Kết hợp với \(|x|+|y|+|z|=1\)
Từ đây ta dễ dàng thu được
\((x,y,z)=(0,0,\pm 1), (\pm 1, 0,0), (0,\pm 1, 0)\)
Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)
Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.
Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)
Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.
Vậy hpt đã cho vô nghiệm.
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+y+z)=2\\ y(y+z+x)=3\\ z(z+x+y)=4\end{matrix}\right.(*)\).
Dễ thấy $x+y+z\neq 0$. Khi đó ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{x(x+y+z)}{y(y+z+x)}=\frac{2}{3}(1)\)
\(\frac{y}{z}=\frac{y(y+z+x)}{z(z+x+y)}=\frac{3}{4}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) .
Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\Rightarrow x=2k; y=3k; z=4k\)
Thay vào PT thứ nhất của $(*)$ suy ra:
\(2k(2k+3k+4k)=2\)
\(\Leftrightarrow 18k^2=2\Rightarrow k=\pm \frac{1}{3}\)
Nếu \(k=\frac{1}{3}\Rightarrow (x,y,z)=(2k,3k,4k)=(\frac{2}{3}; 1; \frac{4}{3})\)
Nếu \(k=\frac{-1}{3}\Rightarrow (x,y,z)=(2k,3k,4k)=(\frac{-2}{3}; -1; \frac{-4}{3})\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé