Question

[Ngọc Hạnh]

tìm (x,y) nguyên dương thỏa \(x^3+y^3-9xy=0\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có: \(x^3+y^3-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3=9xy+3xy(x+y)\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3=3xy[(x+y)+3]\)

\(\Rightarrow (x+y)^3\vdots x+y+3\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^3+3^3-3^3\vdots x+y+3\)

Theo phân tích hằng đẳng thức: \((x+y)^3+3^3\vdots x+y+3\)

Suy ra \(3^3\vdots x+y+3(1)\)

Vì \(x,y\in\mathbb{N}^*\Rightarrow x+y+3\geq 5(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow x+y+3\in\left\{9;27\right\}\)

\(\Rightarrow x+y\in\left\{6;24\right\}\)

Nếu \(x+y=6\Rightarrow 3xy=\frac{(x+y)^3}{x+y+3}=24\Rightarrow xy=8\)

Áp dụng hệ thức Viete suy ra $x,y$ là nghiệm của PT: \(X^2-6X+8=0\)

\(\Rightarrow (x,y)=(2,4)\) và hoán vị

Nếu \(x+y=24\Rightarrow 3xy=\frac{(x+y)^3}{x+y+3}=512\Rightarrow xy=\frac{512}{3}\not\in\mathbb{N}\) (loại)

Vậy \((x,y)=(2,4)\) và hoán vị