Question

[trương cẩm vân]

Tìm tất cả số nguyên dương (x;y) thỏa mãn \(^{x^2-xy+y^2=x+y+3}\)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(x^2-xy+y^2=x+y+3\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2xy+2y^2-2x-2y+2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8=0+4+4\)

\(8\)có cách phân tích duy nhất thành tổng của \(3\)số chính phương là \(0+4+4\)nên ta có các trường hợp sau: 

- \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=4\\\left(y-1\right)^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=3\\x=y=-1\end{cases}}\)

- \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1,y=3\\x=1,y=-1\end{cases}}\)

- \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x-1\right)^2=4\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3,y=1\\x=-1,y=1\end{cases}}\)

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

x² - xy + y² = x + y + 3

<=> x² - ( y + 1 )x + y² - y - 3 = 0 (*)

Xét (*) ta có : Δ = b² - 4ac = [ -( y + 1 ) ]² - 4( y² - y - 3 )

= y² + 2y + 1 - 4y² + 4y + 12 = -3y² + 6y + 13

(*) có nghiệm <=> Δ ≥ 0 <=> -3y² + 6y + 13 ≥ 0 <=> \(\frac{3-4\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{3+4\sqrt{3}}{3}\)

Vì y nguyên dương => y ∈ { 1 ; 2 ; 3 }

Với y = 1 (*) trở thành x² - 2x - 3 = 0 có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm x₁ = -1 (ktm) ; x₂ = -c/a = 3 (tm)

Với y = 2 (*) trở thành x² - 3x - 1 = 0 có Δ = 13 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

Với y = 3 (*) trở thành x² - 4x + 3 = 0 có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm x₁ = 1 (tm) ; x₂ = c/a = 3 (tm)

Vậy ( x ; y ) = { ( 3 ; 1 ) , ( 1 ; 3 ) , ( 3 ; 3 ) }