Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(x^5+y^2=xy^2+1\)
<=> \(x^5-1=y^2\left(x-1\right)\)(1)
TH1: x = 1
=> \(1^2+y^2=1.y^2+1\) đúng với mọi y
TH2: \(x\ne1\)
(1) <=> \(y^2=x^4+x^3+x^2+x+1\)
<=> \(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)
Có:
+) \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+x^2+2x^2+x^2+4x+4\)
\(=\left(2x^2+x\right)^2+2x^2+\left(x+2\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)
=> \(\left(2y\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)
+) \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)
=> \(\left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)
=> \(\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)
TH1: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+2\right)^2\)
=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\)
<=> x = 0
=> \(y=\pm1\)
TH2: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)
=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+1+4x^3+4x^2+2x\)
<=> \(2x+3-x^2=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=3\end{cases}}\)
Với x = -1 => \(y=\pm1\)
Với x = 3 => \(y=\pm11\)
Kết luận:...
\(\left(x^2-x+1\right)\left(xy+y^2\right)=3x-1\left(1\right)\)
\(3x-1⋮x^2-x+1\)
zì \(lim\left(x\rightarrow\infty\right)\frac{3x-1}{x^2-x+1}=0\)
zà thấy x=2 thỏa mãn ,=> x=1
thay zô 1 ta có
\(1\left(y+y^2\right)=2=>y^2+y-2=0=>\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)
zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,1\right)\left(1,-2\right)\right\}\)
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
\(PT\Leftrightarrow x^4+y^3-xy^3-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-1\right)+\left(y^3-xy^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1\right)-y^3\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1-y^3\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^3+x^2+x+1=y^3\end{cases}}\)
TH1 : \(x=1\Rightarrow y\in Z\)
TH2 : \(x^3+x^2+x+1=y^3\)
Ta có : \(x^3< x^3+x^2+x+1< x^3+3x^2+3x+1\)
\(\Leftrightarrow x^3< x^3+x^2+x+1< \left(x+1\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1\notin Z\) hay \(y\notin Z\) (loại)
Vậy \(x=1\) và \(y\in Z\)
Ta có: \(\frac{x-y\sqrt{2021}}{y-z\sqrt{2021}}=\frac{m}{n}\inℚ\left(m,n\inℤ,n\ne0\right)\Rightarrow nx-ny\sqrt{2021}=my-mz\sqrt{2021}\)\(\Rightarrow nx-my=\left(ny-mz\right)\sqrt{2021}\)
Vì x, y, z, m, n là các số nguyên nên \(nx-my\inℤ\)và \(ny-mz\inℤ\)
Khi đó: \(nx-my=0\)và \(ny-mz=0\)suy ra \(\frac{m}{n}=\frac{y}{z}=\frac{x}{y}\Rightarrow y^2=xz\)
Theo đề bài thì \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố hay \(x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2zx+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x+y+z\right)\left(x+z-y\right)\)là số nguyên tố
Khi đó \(x+z-y=1\Leftrightarrow x+z=1+y\)
\(\Rightarrow x^2+z^2+2y^2=y^2+2y+1\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2+x^2+z^2-2=0\)
Vì x, y, z là số nguyên dương nên x = y = z = 1
Khai triển: \(\left(x+y\right)^2+\left(xy-1\right)\left(x+y\right)+\left(xy-5\right)=0\).
Ta coi như là một phương trình bậc hai ẩn \(x+y\).
\(\Delta=\left(xy-1\right)^2-4\left(xy-5\right)=\left(xy-3\right)^2+12\)
Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) chính phương, cộng với \(\left(xy-3\right)^2\) đã là một số chính phương.
Nghĩa là ta cần tìm 2 số chính phương hơn kém nhau 12 đơn vị. Đó là số 4 và 16.
Tức là \(\left(xy-3\right)^2=4\) (số chính phương nhỏ hơn)
Hay \(xy=5\) hoặc \(xy=1\).
Thử lại thì \(x=y=1\) hoặc \(x=y=-1\)