Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
n^2+5n+1=n.(n+5)+1
Với n E N thì n+5>1
=> n^2+5n+1 là số nguyên tố <=>n=1
Thử lại thấy đúng,vậy n=1
Vì p là số nguyê tố lớn hơn 3 nên p có 1 trong 2 dạng: 3k+1 và 3k+2
+) nếu p = 3k+1 thì 2p+1 = 6k+3, chia hết cho 3 nên 2p+1 là hợp số(loại)
=>p có dạng 3k+2
=>4p+1 = 12k + 9 , chia hết cho 3
=> 4p+1 là hợp số
Vậy 4p+1 là hợp số
Với P>3 thì P có dạng 3n+1 hoặc 3n+2
*P=3n+1
=>P2+1994=(3n+1)2+1994=9n2+6n+1995=3.(3n2+2n+665) chia hết cho 3
=>P2+1994 không phải số nguyên tố
*P=3n+2
=>P2+1994=(3n+2)2+1994=9n2+12n+1998=3.(3n2+4n+666) chia hết cho 3
=>P2+1994 không phải là số nguyên tố
Suy ra: P không thể lớn hơn 3 =>P có thể là 2 hoặc 3
*Với P=2
=>P2+1994=1998 không phải là số nguyên tố
*Với P=3
=>P2+1998=2007 là số nguyên tô
Vậy P=3
Với P>3 thì P có dạng 3n+1 hoặc 3n+2
*P=3n+1
=>P2+1994=(3n+1)2+1994=9n2+6n+1995=3.(3n2+2n+665) chia hết cho 3
=>P2+1994 không phải số nguyên tố
*P=3n+2
=>P2+1994=(3n+2)2+1994=9n2+12n+1998=3.(3n2+4n+666) chia hết cho 3
=>P2+1994 không phải là số nguyên tố
Suy ra: P không thể lớn hơn 3 =>P có thể là 2 hoặc 3
*Với P=2
=>P2+1994=1998 không phải là số nguyên tố
*Với P=3
=>P2+1998=2007 là số nguyên tô
Vậy P=3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng là 3k+1 hoặc 3k+2. ( k\(\in\)N*)
Nếu p=3k+1
\(\Rightarrow\) 2p+1 =2(3k+1) +1 =6k+2+1=6k+3=3(2k+1) \(⋮\) 3
\(\Rightarrow\) 2p+1 là hợp số.( trái với đề bài)
\(\Rightarrow\) p=3k+1 ( loại)
\(\Rightarrow\) p=3k+2
\(\Rightarrow\) 2p+1 = 2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5 là số nguyên tố ( thỏa mãn)
\(\Rightarrow\) 4p+1 = 4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9=3(4k+3)\(⋮\) 3
\(\Rightarrow\) 4p+1 là hợp số.
Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số.
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng là 3k+1 hoặc 3k+2 ( k\(\in\) N)
Nếu p=3k+1
=> 2p+1+ 2(3k+1) +1= 6k+ 2+1=6k+3= 3(2k+1)\(⋮\) 3
=> 2p+1 là hợp số( trái với đề bài)
=> p= 3k+1 (loại)
=> p= 3k+2
=> 2p+1= 2(3k+2) +1= 6k+4+1= 6k+5 là số nguyên tố( thoả mãn)
=> 4p+1=4( 3k+2)+1- 12k+ 8+1=12k+9=3(4k+3)\(⋮\) 3
4p+1 là hợp số
Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số.
Chúc bn hok tốt!
Với p = 3 -> p²+2 = 11 là số nguyên tố. Nên p=3 là 1 nghiệm.
Với các số nguyên tố khác 3 thì chúng đều không chia hết cho 3. Nên chúng có dạng p = 3k+1 hoặc p=3k+2. Với k là 1 số nguyên không âm.
Mặt khác ta có: p² = 9k²+6k+1 đồng dư với 1 mod 3. Hoặc p² = 9k² + 12k + 4 = 9k² + 12k + 3 +1 đồng dư với 1 mod 3. (*)
Do đó p²+2 sẽ đồng dư với 1 + 2 = 3 mod 3. Tức p²+2 chia hết cho 3. Mà p²+2 là số nguyên tố nên p²+2 chỉ có thể bằng 3 -> p = 1 (vô lý).
Vậy p = 3 là nghiệm duy nhất của bài toán.
Lời giải:
-Nếu $p$ không chia hết cho $3\Rightarrow p\geq 2$
Ta biết rằng mọi số chính phương không chia hết cho $3$ thì chia $3$ dư $1$. Do đó $p^2+2\equiv 0\pmod 3$. Suy ra để $p^2+2$ là số nguyên tố thì $p^2+2=3\rightarrow p=1$ (vô lý)
Vậy $p$ thỏa mãn đề bài phải chia hết cho $3$, hay $p=3$. Thử vào $p^2+2=11,p^3+2=29\in\mathbb{P}$ nên ta có đpcm
Ta thấy các số nguyên tố đều là số lẽ trừ 2
Với p là số lẽ =>\(p^2+1\text{ là số chẵn ; }p^4+1\text{ là số chẵn}\)
=>\(p^2+1;p^4+1\text{ không phải là số nguyên tố}\)
=>p không phải là số lẽ =>p=2