Question

[Lê Minh Ngọc]

Giải phương trình 

\(x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1\)

Answer 1

[Chibi]

Cách giải giống câu này nè bạn: 903926

ĐK: x \(\ne\) -1

Đặt y = x+1

=> x = y - 1

PT tương đương

(y-1)² + \(\frac{\left(y-1\right)^2}{y^2}\)= 1

<=> y² - 2y + 1 + 1 - \(\frac{2}{y}\)+ \(\frac{1}{y^2}\)= 1

<=> y² + \(\frac{1}{y^2}\) - 2(y + \(\frac{1}{y}\)) = -1

Đặt z = y + \(\frac{1}{y}\)  (|z| >= 2)

=> z = y² + \(\frac{1}{y^2}\) + 2

PT tương đương

z² - 2 - 2z = -1

<=> z² - 2z - 1 = 0

<=>

z = \(\frac{2-\sqrt{8}}{2}\)(loại vì |z| < 2)

hoặc z = \(\frac{2+\sqrt{8}}{2}\)= 1 +\(\sqrt{2}\)

=> y + \(\frac{1}{y}\) = 1 + \(\sqrt{2}\)

=> y² - (1 +\(\sqrt{2}\))y + 1 = 0

Giải PT bậc 2 này tìm được 2 nghiệm y.

=> 2 nghiệm x = y - 1.

D = 2\(\sqrt{2}\)-1 > 0

y = \(\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

hoặc y = \(\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

=> x = y - 1 = ... \(\approx\)0.883203505913526

Hoặc x = y - 1 = ... \(\approx\)-0.468989943540431

Answer 2

[Bùi Thị Vân]

\(x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1\) Điều kiện xác định \(x\ne-1\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-2\frac{x^2}{x+1}+2\frac{x^2}{x+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}=1\)
Nhận xét \(x-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}\)
Từ đó ta có: \(\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}=1\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2\left(x-\frac{x}{x+1}\right)=1\)
Đặt \(t=x-\frac{x}{x+1}\) ta có phương trình \(t^2+2t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1+\sqrt{2}\\t=1-\sqrt{2}\end{cases}}\)
Với \(t=1+\sqrt{2}\)ta có \(x-\frac{x}{x+1}=1+\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow x^2-\left(1+\sqrt{2}\right)x-\left(1+\sqrt{2}\right)=0\)
                                                                                           \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{7+6\sqrt{2}}}{2}\\x_1=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{7+6\sqrt{2}}}{2}\end{cases}}\)
  Với \(t=1-\sqrt{2}\) ta có \(x-\frac{x}{x+1}=1-\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow x^2-\left(1-\sqrt{2}\right)x-\left(1-\sqrt{2}\right)=0\)( vô nghiệm).