0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TL
1
15 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )
=> a( b2 + c2 ) ≥ 2abc
Tương tự : b( c2 + a2 ) ≥ 2abc ; c( a2 + b2 ) ≥ 2abc
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Thật vậy:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
VD
1
NC
10 tháng 6 2021
Ta có:\(a\ge b\ge c\ge0\)
\(\Rightarrow a^2\ge b^2\ge c^2\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2\ge0\\b^2-c^2\ge0\\c^2-a^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\\a^3\left(b^2-c^2\right)\ge0\\b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow c^3\left(a^2-b^2\right)+a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
TA
5
30 tháng 1 2017
a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1
a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
ta cần chứng minh
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
ta có:
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2)
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2)
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**)
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2
ta có:
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27
=> (**) luôn đúng
=>
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
tương tự ta có:
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2
HP
30 tháng 1 2017
cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)
<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1
<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2
<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9
<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)
Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c
(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9
<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6
<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0
<=>(x-y)2/xy+(y-z)2/yz+(z-x)2/zx >= 0(luôn đúng)
Vậy bdt (*) là đúng
trở lại bài toán : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >= (a+b+c)/2
<=>(a2/b+c + a)+(b2/a+c + b)+(c2/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)
<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)
<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2 (bđt (*))
Vậy có đpcm
TC
1
14 tháng 1 2018
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3
dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3
tk mk nha $_$