Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D E a b c
a) Kẻ \(CE\perp AB\)
Ta có : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ACE\)có \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)
b) Kẻ \(BD\perp AC\)
Xét \(\Delta ADB\)có \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)
Lại có : \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)
Xét \(\Delta BEC\)có \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)
Xét \(\Delta BDC\)có \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)
Từ (3) ; (4) ; (5) và (6) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)
c) Xét \(\Delta ABD\)có \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :
\(AB^2=BD^2+AD^2\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :
\(BD^2+DC^2=BC^2\)
Ta có : \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)
\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)
\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)
\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)
\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)
\(=BD^2+DC^2\)
\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)
A B C D E
\(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\)
Xét tam giác ADE và tam giác ABC có :
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) \(\left(=\cos\widehat{A}\right)\)
\(\widehat{A}\) là góc chung
Do đó : \(\Delta ADE~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên
\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\cos^2\widehat{A}\)\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ( đpcm )
làm tạm 1 câu :v
\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.1=S_{ABC}\left(\sin^2\widehat{A}+\cos^2\widehat{A}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}+S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\)
\(\Leftrightarrow\)\(S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}\) ( do \(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) )
Mình sẽ làm từ câu C nha vì câu C có liên quan đến câu cuối
c/ Xét tam giác ABF và tam giác AEC ta có :
Góc BAF = góc CAE ( AF là phân giác)
góc ABF = góc AEC ( 2 góc nt chắn cung AC)
=>tam giác ABF đồng dạng tam giác AEC (g-g)
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AC}\)=>AB.AC=AE.AF
d/ Xét tam giác ABF và tam giác CFE ta có:
góc ABF = góc FEC ( 2 góc nt chắn cung AC )
góc BAF = góc FCE (2 góc nt chắn cung EB )
=> tam giác ABF đồng dạng tam giác CEF (g-g)
=>\(\frac{FB}{FE}=\frac{FA}{FC}\)=>FB.FC=FA.FE
Ta có AF.AE=AB.AC (cmt)
AF.FE=BF.CF (cmt)
=> AF.AE-AF.FE = AB.AC - BF.CF
=> AF(AE-FE) = AB.AC - BF.CF
=> \(AF^2=AB.AC-BF.CF\)
a) Xét (O) có AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
=> sđBE=sđCE
=> BE=CE (liên hệ giữa cung và dây cung)
=> tam giác BEC cân tại E (đpcm)
b) Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^BAC+^BEC=180 độ (2 góc đối nhau)
<=> ^BEC=180 độ - ^BAC
Tam giác ABC có ^BAC+^ABC+^BCA=180 độ
=> =180 độ - ^BAC=^ABC+^BCA
Suy ra Góc BEC = góc ABC + góc ACB (đpcm)
c) AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
Hay ^BAF=^CAE
Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^ABC=^AEC (2 góc nt chắn cung AC)
Hay ^ABF=^AEC
Xét tam giác ABF và tam giác AEC có:
^ABF=^AEC
^BAF=^CAE
=> tam giác ABF ~ tam giác AEC (g-g)
=> AB/AF=AE/AC
<=> AB.AC=AE.AF (đpcm)
Hạ đường cao BH
Ta có:
\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.BH.AC\)
\(=\dfrac{1}{2}.AB\)\(.\)\(\dfrac{BH}{AB}.AC\)
\(=\dfrac{1}{2}.AB.sin\left(\widehat{A}\right).AC\)( Điều phải chứng minh)