Question

[Thu Hòa Phan Thị]

Cho tam giác abc cân tại a trung tuyến AM. Gọi D là điểm đối xứng với A qua M và K là trung điểm của MC, E là điểm đối xứng với D qua K.

a, CM tứ giác ABDC là hình thoi

b, tứ giác AMCF là HCN

c, AM và BE cắt nhau tại I. CM I là trung điểm của BE

d, CM AK,CI,EM đồng quy

Answer 1

[Herera Scobion]

a) Xét tứ giác ABDC có :

- M là trung điểm của BC -> BM=CM

- D đối xứng với A -> AM = DM

=> ABDC là hình bình hành ( dhnb )

Lại có AB= AC ( do ABC cân tại A ) là hai cạnh kề nên ABCD là hình thoi

b) Xét tam giác AED có

- M là trung điểm AD

- K là trung điểm ED

=> MK là đường trung bình của tam giác AED

-> MK // AE ; MK = AE ( do K là trung điểm của MC )

-> AMCE là hình bình hành

Mà góc M = 90 ⁰ ( ABDC là hình thoi)

-> AMCE là hình chữ nhật

c) Vì AMCE là hình chữ nhật nên AM // CE hay IM // CE

Xét tam giác BEC có M là trung điểm của BC; IM // CE ( cmt ) nên I là trung điểm của BE

d) Xét tứ giác AEMB có AE // BM ; AE = BM ( do AECM là chữ nhật )

-> AEMB là hình bình hành . Có I là giao điểm của AM và BE nên I là trung điểm của AM => CI là đường trung tuyến của tam giác ACM (1)

Có K là trung điểm của MC => AK là trung tuyến của tam giác ACM (2)

Gọi H là giao điểm của AC và EM -> H là trung điểm của AC ( AECM là hcn ) -> MH là trung tuyến của ACM ( 3)

Từ 1 , 2 , 3 ta kết luận AK, CI , EM ( MH ) đồng quy tại chính trọng tâm của tam giác ACM