K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DK
1
PN
30 tháng 8 2020
Chia cả 2 vế của giả thiết cho a,b,c ta được :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\leftrightarrow\)khi đó bài toán trở thành :
\(xy+yz+zx+x+y+z=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}< =>x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(*)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\z^2+x^2=2\sqrt{z^2x^2}=2zx\end{cases}< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge}2\left(xy+yz+zx\right)\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)=2.6=12\)
\(< =>x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{12}{3}=4< =>x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Thật vậy:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
0
14 tháng 10 2015
a) ta có (x-y)2>=0 với mọi x,y
=>x2-2xy+y2>=0 với mọi x,y
=>x2+y2>=2xy với mọi x,y
=>(x2+y2)/xy>=2 với mọi x,y>0
=>x/y+y/x>=2 với mọi x,y>0
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
(a2+1)/1+1/(a2+1)>=2
=>a2+1+1/(a2+1)>=2
=>a2+1/(a2+1)>=1 (dpcm)
b)áp dụng bất đẳng thức x2+y2>=2xy (chứng minh trên) ta có:
a2+b2>=2ab
=>(a2+b2).c>=2abc (1)
b2+c2>=2bc
=>(b2+c2).a>=2abc (2)
a2+c2>=2ac
=>(a2+c2).b>=2abc (3)
từ (1),(2),(3) cộng vế với vế ta sẽ suy ra đc dpcm
TL
1
15 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )
=> a( b2 + c2 ) ≥ 2abc
Tương tự : b( c2 + a2 ) ≥ 2abc ; c( a2 + b2 ) ≥ 2abc
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
20 tháng 4 2020
Đặt \(A=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Hmm... Ta có BĐT phụ : \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)"=" <=> x = y
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+ac+bc}{abc}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}{6abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6abc}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(VT=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
Bài này có điều kiện a,b,c không âm thì phải