Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=2x_1-x_2+2x_2-x_1\\y_1y_2=\left(2x_1-x_2\right)\left(2x_2-x_1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2\\y_1y_2=-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-\dfrac{5}{3}\\y_1y_2=-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-\dfrac{5}{3}\\y_1y_2=-2.\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+9.\left(-2\right)=-\dfrac{212}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y_1;y_2\) là nghiệm của:
\(y^2+\dfrac{5}{3}y-\dfrac{212}{9}=0\Leftrightarrow9y^2+10y-212=0\)
Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)
Ta có \(S=y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=-\frac{5}{3}+\frac{\frac{-5}{3}}{-2}=-\frac{5}{6}\)
\(P=x_1x_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=-2+2+\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)
Khi đó y1 ; y2 là nghiệm của pt
\(Y^2-SY+P=0\)
\(\Leftrightarrow Y^2+\frac{5}{6}Y-\frac{1}{2}=0\)
Theo định lí Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1.x_2=-5\end{cases}\)
- \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1-2.\left(-5\right)=11\)
- \(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=1-3.\left(-5\right).1=16\)
- \(C=\left(2x_1+x_2\right)\left(2x_2+x_1\right)=\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)+x_1.x_2+1=1-5+1=-3\)
\(x^2-2\left(m-3\right)x+m^2-5m+6=0\)(1)
Để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\)thì:
\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2-\left(m^2-5m+6\right)=m^2-6m+9-\left(m^2-5m+6\right)=-m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le3\)
Với \(m\le3\)phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)nên theo định lí Viete ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-6\\x_1x_2=m^2-5m+6\end{cases}}\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-3\right)^2-2\left(m^2-5m+6\right)\)
\(=2m^2-14m+24=40\)
\(\Leftrightarrow m^2-7m-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-8\right)\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=8\left(l\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{cases}}\)
\(2x^2-6x+2m-5=0\left(a=2;b=-6;c=2m-5\right)\)
\(\Delta=b'^2-ac=\left(-3\right)^2-2\left(2m-5\right)=19-4m\)
Để PT có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow19-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{19}{4}\)
Vậy với m < 19/4 thì PT có hai nghiệm
Áp dụng hệ thức vi-ét ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3\left(1\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m-5}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6\Rightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6\left(3\right)\)
Thay (1) ; (2) vào (3) ta được:
\(\frac{3}{\frac{2m-5}{2}}=6\)
\(\Rightarrow\frac{6\left(2m-5\right)}{2}=3\)
\(\Rightarrow3\left(2m-5\right)=3\)
\(\Rightarrow2m-5=1\Rightarrow m=3\)(TMĐK m<19/4)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}=\dfrac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\)
\(=\dfrac{x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)
\(=\dfrac{\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2-2.\left(-2\right)-\left(-\dfrac{5}{3}\right)}{-2-\left(-\dfrac{5}{3}\right)+1}=...\)
\(\Delta'=2-m\ge0\Rightarrow m\le2\)
Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\3x_1+2x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=5\\x_2=-7\end{matrix}\right.\)
Mặt khác ta có \(x_1x_2=m-1\Rightarrow m-1=-35\Rightarrow m=-34\)
\(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\\y_1y_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\y_1y_2=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-2-\frac{2}{m-1}=\frac{-2m}{m-1}\\y_1y_2=m-1+\frac{1}{m-1}+2=\frac{m^2}{m-1}\end{matrix}\right.\) (\(m\ne1\))
Theo Viet đảo, \(y_1;y_2\) là nghiệm của:
\(y^2+\frac{2m}{m-1}y+\frac{m^2}{m-1}\Leftrightarrow\left(m-1\right)y^2+2my+m^2=0\) \(\left(m\ne1\right)\)
\(y_1+y_2=\left(x_1+x_2\right)+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{-5}{3}:\left(-2\right)=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{-5}{6}\)
\(y_1y_2=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)\)
\(=x_1x_2+2+\dfrac{1}{x_1x_2}=\left(-2\right)+2+\dfrac{1}{\left(-2\right)}=\dfrac{-1}{2}\)
Pt cần tìm có dạng là \(y^2+\dfrac{5}{6}y-\dfrac{1}{2}=0\)