Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{a) }\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\left(2\right)\)
BDT (2) luôn đúng \(\forall x\) nên BDT (1) luôn đúng \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a=b\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b\)
b) Áp dụng BDT Cô-si có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\ \dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\\ \dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+a+c+b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)
Vậy \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) đẳng thức xảy ra khi : \(a=b=c\)
b) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
c) \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đôi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)
\(\sqrt{a-b}\ge\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge a-2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-b-a+2\sqrt{ab}-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow-2b+2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\)(*)
Vì \(a\ge b\Leftrightarrow\sqrt{a}\ge\sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}\ge0\)
Do đó (*) luôn đúng
Ta có đpcm.
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) . Vì hai vế không âm nên bình phương cả hai vế :
\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\) \(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu dc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi a = b (a,b không âm)
Với DK:a\(\ge\)b,b\(\ge\)0,a\(\ne\)b
\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)
\(a,\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}\)
\(b,1,2\sqrt{5}=\sqrt{1,2^2}.\sqrt{5}=\sqrt{1,44.5}=\sqrt{7,2}\)
\(c,ab^4\sqrt{a}=\sqrt{a^2b^8a}=\sqrt{a^3b^8}\)
\(\frac{\sqrt{ab}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{ab}\) chuc p họk tot
\(\frac{\sqrt{ab}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{ab}\) chúc p học tốt
a) \(\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
b) \(7\sqrt{ab}+7b-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(=7\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(7\sqrt{b}-1\right)\)
c) \(a\sqrt{b}-b\sqrt{a}+\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{ab}+1\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{ab}+1\right)\)
\(=\left(\sqrt{ab}+1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
d) \(\sqrt{x^2-25y^2}-\sqrt{x-5y}\)
\(=\sqrt{\left(x-5y\right)\left(x+5y\right)}-\sqrt{x-5y}\)
\(=\sqrt{x-5y}\left(\sqrt{x+5y}-1\right)\)
Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\)
với a;b luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ta luôn có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\\ \Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)
vì a;b luôn\(\ge\)0 nên \(2\sqrt{ab}\) luôn\(\ge\) 0 nên:
\(a+2\sqrt{ab}+b\) luôn lớn hơn hoặc bằng a+b
=>\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)(ĐPCM)