Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Biến đổi tương đương:
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
\(\sqrt{a-b}\ge\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge a-2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-b-a+2\sqrt{ab}-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow-2b+2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\)(*)
Vì \(a\ge b\Leftrightarrow\sqrt{a}\ge\sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}\ge0\)
Do đó (*) luôn đúng
Ta có đpcm.
1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)
\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)
\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
Ta có \(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow c^2\ge ab\Leftrightarrow c^2-ab\ge0\Leftrightarrow c\left(c^2-ab\right)\ge0\Leftrightarrow c^3-abc\ge0\Leftrightarrow\left(c^3-abc\right)\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow ac^3-a^2bc-bc^3+ab^2c\ge0\Leftrightarrow ab^2c+ac^3\ge a^2bc+bc^3\Leftrightarrow ac\left(b^2+c^2\right)\ge bc\left(a^2+c^2\right)\Leftrightarrow\dfrac{ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow1+\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge1+\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ac+c^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{b^2+2bc+c^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+c\right)^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}\left(đpcm\right)\)
Cần chứng minh
(a + c)²(b² + c²) ≥ (b + c)²(a² + c²)
<=> 2c(a - b)(c² - ab) ≥ 0
Cái này đúng.
Biến đổi tương đương:
\(2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) . Vì hai vế không âm nên bình phương cả hai vế :
\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\) \(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu dc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi a = b (a,b không âm)
Với DK:a\(\ge\)b,b\(\ge\)0,a\(\ne\)b
\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) (Luôn đúng vì a ≥0; b≥0)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=0