Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét \(\Delta=\left(m+1\right)^2-2m+3=m^2+4>0,\forall m\)
Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) \(f\left(x\right)=x^2-\left(m+1\right)x+2m-3=0\)có nghiệm \(x=3\)khi và chỉ khi
\(f\left(3\right)=0\Leftrightarrow3^2-\left(m+1\right).3+2m-3=0\Leftrightarrow3-m=0\Leftrightarrow m=3\)
Xét \(x^2-\left(2m+1\right)x-3=0\left(1\right)\)
PT (1) có a.c=\(1\cdot\left(-3\right)=-3< 0\)
=> PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m
Mà \(x_1< x_2\left(gt\right)\)nên x1<0 và x2>0 => \(\hept{\begin{cases}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{cases}}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(x_1+x_2=2m+1\)
Theo bài ra \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=5\Rightarrow-x_1-x_2=5\Leftrightarrow x_1+x_2=-5\Leftrightarrow2m+1=-5\Leftrightarrow m=-3\)
Xét phương trình : \(x^2-\left(2m+3\right)x+m=0\)
Ta có : \(\Delta=\left[-\left(2m+3\right)\right]^2-4.1.m\)
\(=4m^2+12m+9-4m=4m^2+8m+9\)
\(=\left(2m+2\right)^2+5\)
Có : \(\left(2m+2\right)\ge0\forall m\Rightarrow\left(2m+2\right)^2+5>0\)
\(\Rightarrow\)phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\)và\(x_2\)
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1.x_2=m\end{cases}\left(^∗\right)}\)
Có : \(K=x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)
Thay \(\left(^∗\right)\)vào K ta được :
\(K=\left(2m+3\right)^2-2m\)
\(\Leftrightarrow K=4m^2+12m+9-2m\)
\(\Leftrightarrow K=4m^2+10m+9\)
\(\Leftrightarrow K=\left(2m+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\)
Vậy \(K_{min}=\frac{11}{4}\) đạt đc khi \(2m+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{5}{4}\)
Ta có: 2m2 + 3 + n2 > 0 . Xét:
\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4\left(2m^2+n^2+3\right)\left(m^2-2mn+n^2+2\right)\)
\(=m^2-2m+1+4\left(2m^4-4m^3n+3m^2n^2+2m^2-2mn^3+n^4+5n^2+3m^2-6mn+6\right)\)
\(=m^2-2m+1+8m^4-16m^3n+12m^2n^2+8m^2-8mn^3+4n^4+20n^2+12m^2-26mn+24\)\(=8m^4+4n^4-16m^3n-8mn^3+12m^2n^2+21m^2+20n^2-26mn-2m+25\)
Ta có:\(\Delta'=m^2-\left(2m-3\right)=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2>0\)
Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
\(a) x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0.\)
\(∆ ' = m^2 -(2m-3) = m^2 -2m +1 +2 = (m-1) ^2 +2\)
Có \((m+1) ^2 ≥0 <=> (m+1)^2 +2 ≥2 >0\)
\(=> ∆'>0 <=> PT\) luôn có 2 nghiệm \(PB\) với mọi m
꧁༺๖ۣ๖ۣۜSkyღ๖ۣۜlạnh☯๖ۣۜlùngɠɠ༻꧂
\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m+1=0\)
2 nghiệm phân biệt khi
\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)=0\)
=>\(\Delta=4m^2+4m+1-4m^2-4m-4=0\)
=>\(\Delta=-3< 0\)
b)\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{2m+1-3}{2}=\frac{2m+1}{2}-\frac{3}{2}\\x_2=\frac{2m+1+3}{2}=\frac{2m+1}{2}+\frac{3}{2}\end{cases}}\)
\(x_1-x_2=-3\)
\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)
Có \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m\)
\(=m^2+2m+1-2m\)
\(=m^2+1>0\forall m\)
Do \(\Delta'>0\forall m\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có đpcm.