Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
x + y = 1 => y = 1 - x
A = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
= x2 - x(1 - x) + (1 - x)2
= x2 - x + x2 + x2 - 2x + 1
= 3x2 - 3x + 1
= 3(x2 - x + \(\dfrac{1}{3}\))
= 3(x2 - 2x.\(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\))
= 3(x - \(\dfrac{1}{2}\))2 + \(\dfrac{1}{4}\) ≥ \(\dfrac{1}{4}\) ∀x
Dấu "=" xảy ra ⇔ x - \(\dfrac{1}{2}\) = 0 ⇔ x = \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy minA = \(\dfrac{1}{4}\) ⇔ x = \(\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT cosi cho \(x,y>0\)
\(M=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y\cdot\dfrac{1}{y}}=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)
Mà \(x+y=2\le\dfrac{4}{3}\left(vô.lí\right)\) nên dấu \("="\) không xảy ra
Vậy M không có GTNN
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=x+\frac{4}{9x}+y+\frac{4}{9y}+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{9x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{4}{9y}}+\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{x+y}\)
\(\ge2\cdot\frac{2}{3}+2\cdot\frac{2}{3}+\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)
Khi \(x=y=\frac{2}{3}\)
Phải là x, y dương bn nhé
Ta có BĐT \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3-x^3-y^3-3x^2y-3xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Do đó \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\\ \Leftrightarrow x^3+y^3=1-3xy\)
Lại có \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Do đó \(x^3+y^3\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=1/2( bạn chú ý x,y dương nhé)