Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:
\(P^2=\left(\sqrt{x}\sqrt{x+xy}+\sqrt{y}\sqrt{y+xy}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x+y+2xy\right)=1+2xy\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(xy\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{4}\)
khi đó \(P^2\le1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
anh chi oi giup em cau nay voi:cho x+y=4. tim gtln cua: a=(x-2)y+2017
ĐKXĐ \(x,y\ge0\)
Ta có \(x^3+y^3+xy-x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
Mà x,y\(\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x}\le1\\0\le\sqrt{y}\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le1+\sqrt{x}\le2\\\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1\ge P\ge\frac{1}{3}\)
Nhận thấy p\(=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)(thỏa mãn)
Nhận thấy P\(=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)(thỏa mãn)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\le1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\le1\\y\ge0\end{cases}}\end{cases}}\)