Question

[Ko đủ trình]

Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\)nhọn, đường cao AF, trung tuyến AD, phân giác AE. Biết\(S_{AED}=\frac{1}{14}S_{ABC};S_{AFD}=\frac{7}{50}S_{ABC}\). Tính \(\widehat{BAC}\).

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Ta có: S_AED = 1/₁₄S_ABC => ED = 1/₁₄BC

SAFD = 7/₅₀S_ABC => FD = 7/₅₀BC

=> EC = ED + DC = 1/₁₄BC + 1/₂BC = 4/₇BC và EB = BC - EC = 3/₇BC

=> EB/_EC = 3/₄ => AB/_AC = 3/₄ (= EB/_EC, theo tính chất đường phân giác trong tam giác)

Hơn nữa S_ABF = S_ABD - SAFD = 1/₂S_ABC - 7/₅₀S_ABC = 9/₂₅S_ABC

S_ACF = S_ACD + SAFD = 1/₂S_ABC + 7/₅₀S_ABC = 16/₂₅S_ABC

=> S_ABF/S_ACF = 9/₁₆ => FM/_FN = 3/₄ (với M, N là các chân đường cao hạ từ F xuống AB và AC)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC

Các tam giác ∆ABF và ∆AFC vuông tại F => FI = 1/₂AB, FJ = 1/₂AC => FI/_FJ = AB/_AC = 3/₄

Từ đó FM/_FN = FI/_FJ => ∆MIF ~ ∆NJF (ch - cgv) => ^MIF = ^NJF

Mà ∆IBF cân tại I, ∆AJF cân tại J

=> ^IFB = ^FAJ            (1)

∆IAF cân tại I => ^IFA = ^IAF                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IAF + ^FAJ = ^IFA + ^IFB = 90⁰ => ^BAC = 90⁰.