K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 8 2018

Áp dụng BĐT Cauchy–Schwarz ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\)

<=>   \(5\left(x+y\right)\ge100\)

<=>  \(x+y\ge20\)

Dấu "=" xảy ra  <=>  \(x=4;\)\(y=16\)

27 tháng 8 2018

ban duong quynh giang oi bdt ay phai la bunhiacopxki moi dung

11 tháng 8 2016

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge100\Rightarrow x+y\ge20\) (đpcm)

11 tháng 8 2016

thanks bn nhìu lắm 

11 tháng 7 2016

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{10^2}{1^2+2^2}=20\)\(\Rightarrow x+y\ge20\)

14 tháng 7 2016

cách khác:

  Áp dụng bất đẳng thức Cô Si : ta có 

    \(x+4\ge2\sqrt{x.4}=4\sqrt{x}\left(1\right).\)

    \(y+16\ge2\sqrt{y.16}=8\sqrt{y}\left(2\right).\)

cộng vế với vế (1) và (2) ta có : \(x+y+20\ge4\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)=40.\)

                                                        => \(x+y\ge20.\)dấu "=" xảy ra khi x = 4 ; y = 16 

17 tháng 9 2015

Áp dụng BĐT Bu nhi a cốp x ki 

\(\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]=5\left(x+y\right)\)

=> \(\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le5\left(x+y\right)\)

=> \(10^2\le5\left(x+y\right)\)

Tiếp nha 

27 tháng 9 2018

\(\sqrt{x}=10-2\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow x+y=\left(10-2\sqrt{y}\right)^2+y=5y-40\sqrt{y}+100\)

\(=5\left(\sqrt{y}-4\right)^2+20\ge20\)

19 tháng 5 2017

1/ Sửa đề:   \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)

Với mọi x, y, z ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)

\(\Rightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Do đó dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = y = z

3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\)   \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)    \(a^2-2ab+b^2\ge0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

30 tháng 7 2021

\(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10=>\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2=100\)

BDT Bunhiacopxki (đề sai phải lớn hơn bằng 20)

\(=>\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)

\(< =>5\left(x+y\right)\ge100=>x+y\ge20\)

 

NV
10 tháng 8 2021

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x^2}=a\ge0\\\sqrt[3]{y^2}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(P=\sqrt{a^3+a^2b}+\sqrt{b^3+ab^2}=\sqrt{a^2\left(a+b\right)}+\sqrt{b^2\left(a+b\right)}\)

\(=a\sqrt{a+b}+b\sqrt{a+b}=\left(a+b\right)\sqrt{a+b}\)

\(\Rightarrow P^2=\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{P^2}=a+b=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\) (đpcm)

29 tháng 9 2023

Mình đã làm được rồi

4 tháng 9 2021

Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{81}{3\sqrt{3y}}\ge\dfrac{\left(1+9\right)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}=\dfrac{100}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\) (1)

Áp dụng BĐT của Cô-si ta có:

    \(\sqrt{x}=\sqrt{1.x}\le\dfrac{1+x}{2};3\sqrt{3y}\le\dfrac{9+3y}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\ge\dfrac{100}{\dfrac{1+x}{2}+\dfrac{9+3y}{2}}=\dfrac{100}{\dfrac{10+x+3y}{2}}\ge\dfrac{100}{\dfrac{10+10}{2}}=\dfrac{100}{10}=10\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=1;y=3