Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
c) theo bunhia ta có:
\(VT^2\le3\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\)
bài 2 tham khảo câu V đề thi vòng 1 trường THPT chuyên đại học sư phạm năm học 2013-2014
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Áp dụng cô si
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng các vế tương ứng
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(a,\)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Bài 1:
a) Bạn xem lại đề bài hộ mình.
b) Thực hiện biến đổi tương đương:
\((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\leq 2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng do \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2\geq 0\\ (y-z)^2\geq 0\\ (z-x)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
\(\Rightarrow 2A=\sqrt{16x+8\sqrt{x}+4}+\sqrt{16y+8\sqrt{y}+4}+\sqrt{16z+8\sqrt{z}+4}\)
\(=\sqrt{18x-2(\sqrt{x}-2)^2+12}+\sqrt{18y-2(\sqrt{y}-2)^2+12}+\sqrt{18z-2(\sqrt{z}-1)^2+12}\)
\(\Rightarrow 2A\leq \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12})^2\leq [(18x+12)+(18y+12)+(18z+1)](1+1+1)\)
\(=3[18(x+y+z)+36]=756\)
\(\Rightarrow \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}\leq \sqrt{756}=6\sqrt{21}(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow 2A\leq 6\sqrt{21}\Rightarrow A\leq 3\sqrt{21}\)
Vậy \(A_{\max}=3\sqrt{21}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{y^2}{\sqrt{y}}+\frac{z^2}{\sqrt{z}}\) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:
\(\left(1\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Ta lại có: \(x+y+z\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{3}\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)
Thay vào ta có \(\left(1\right)\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3