Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho \(\Delta ABC\) đều, đường cao $AH$. $M$ là điểm bất kì trên đáy $BC$. Kẻ \(MP\perp AB\) và \(MQ\perp AC\).  Gọi $O$ là trung điểm của $AM$.
a) Chứng minh năm điểm $A$, $P$, $M$, $H$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác $OPHQ$ là hình gì?
c) Xác định vị trí của $M$ trên $BC$ để $PQ$ có độ dài nhỏ nhất.

Answer 1

[Emma]

hình bạn tự vẽ nha :

a.Ta có:

$\widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}={90}^o$

$\to A,P,H,M,Q\in$ đường tròn đường kính  $AM$

b.Từ câu a $\to A,P,H,M,Q\in (O,\frac{1}{2}AM)$

$\to OP=OH=OM=OQ$

Mà $\Delta ABC$ đều, $AH\perp BC\to \widehat{BAH}=\widehat{HAC}={30}^o$

$\to \widehat{HOQ}=2\widehat{HAQ}={60}^o,\widehat{POH}=2\widehat{PAH}={60}^o$

Do $OP=OH,OH=OQ$

$\to \Delta OPH,\Delta OHQ$ đều

$\to PH=OP=OQ=QH$

$\to OPHQ$ là hình thoi

Answer 2

[Ngô Nhật Hạ]

a) Có $\widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}=90^o$ nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên $\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=30^o$.

Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và $\widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^o$ ; $\widehat{QOH}=60^o$ suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.

c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó $PQ=2.\genfrac{}{}{0ex}{}{r\sqrt{3}}{2}=AM.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}\ge AH.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}$

Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.