Question

[vũ tiền châu]

cho a,b,c >0. tìm min của 

\(A=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}\)

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

\(A=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}+\frac{ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có : \(A\ge2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{ab}\)

Answer 2

[Nguyễn Thiều Công Thành]

làm tiếp đoạn của Đinh Đức Hùng

\(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}-\frac{3\sqrt{ab}}{a+b}\ge4-\frac{\frac{3}{2}\left(a+b\right)}{a+b}=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)