PG
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
4
14 tháng 9 2017
\(A=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}+\frac{ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có : \(A\ge2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{ab}\)
14 tháng 9 2017
làm tiếp đoạn của Đinh Đức Hùng
\(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}-\frac{3\sqrt{ab}}{a+b}\ge4-\frac{\frac{3}{2}\left(a+b\right)}{a+b}=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
HN
1
21 tháng 10 2021
\(ab\cdot\sqrt{\dfrac{a}{3b}}-a^2\sqrt{\dfrac{3b}{a}}\)
\(=a\sqrt{ab}-a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3b}}{\sqrt{a}}\)
\(=a\sqrt{ab}-a\sqrt{a}\cdot\sqrt{3b}\)
\(=a\sqrt{ab}\left(1-\sqrt{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{a\sqrt{ab}\left(1-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3ab}}=\dfrac{a\left(\sqrt{3}-3\right)}{3}\)
9 tháng 7 2019
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
TN
12 tháng 11 2016
Sửa đề: Tìm Max của \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}}\) biết a,b,c>0 và 6a+3b+2c=abc
29 tháng 6 2019
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^3+2\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}\right)}+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a^3}-3a\sqrt{b}+3\sqrt{a}.b-\sqrt{b^3}+2\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}\right)}+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{3\sqrt{a^3}-3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a}}{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}\right)}+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{a-\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=0\)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)