Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tính chất tỉ số ta có: \(\frac{a+b+d}{a+b+c+d}>\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Tương tự: với b,c rồi cộng vế theo vế có ĐPCM
a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )
=(a + d )2 - (b +c )2 (1)
(a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)2 - (b - c)2 (2)
Từ (1) và (2) => a2 + 2ad + d2 - b2 - 2bc - c2=a2 - 2ad + d2 - b2 + 2bc - c2
4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (đpcm)
người đăng bài mới học lớp 8 thì trong chương trình lớp 8 chưa đc học Svac-xơ đâu ạ .Nếu dùng cần cm ạ
Đặt vế trái là P, áp dụng AM-GM cho từng cặp:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\) ; \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) ; \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\) ; \(\frac{d^2}{a+d}+\frac{a+d}{4}\ge d\)
Cộng vế với vế:
\(P+\frac{a+b+c+d}{2}\ge a+b+c+d\Rightarrow P\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=d\)
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+d\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(a+d\right)-\left(b+c\right)\right]-\left[\left(a-d\right)-\left(b-c\right)\right]\left[\left(a-d\right)+\left(b-c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2-\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+d^2+2ad-b^2-c^2-2bc-a^2-d^2+2ad+b^2+c^2-2bc\)
\(\Rightarrow4ad-4bc\)
\(\Rightarrow ad=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)
Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:
A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2
Từ (1) và (2) => đpcm
nguồn:soyeon_Tiểubàng giải
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\).
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+c}{c+a}=1\)
\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=\frac{b+d}{d+b}=1\)
Suy ra đpcm.