Question

[AgustD]

cho 2 số dương thỏa mãn: 1/a+1/b=2

tìm max của Q = 1/a⁴+b²+2ab    +   1/b⁴+a²+2ab

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=2\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=2\)

\(\Rightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)

\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)

Khi đó \(Q\le\frac{1}{2a^2b+2ab^2}+\frac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

P/s: 2ab -> 2a²b và 2ab²