Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)\)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.
=> \(3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)
Khi đó ta có:
\(y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5\)
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)\)
\(y'\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{5}{9}\).
\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.
Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:
\(y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}\)
Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)
Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :
\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)
Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Tập xác định :
Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3
- Với m = -1, ta có :
x=0 hoặc x=2.
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.
- Với m = -3, ta có:
x=2 hoặc x=4
Ta có bản biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1,x_2\)
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m\in D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) (*)
Với điều kiện này thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m\) Suy ra :
\(\left|x_1-x_2\right|\ge8\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|^2\ge64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge64\Leftrightarrow4m^2-4m\ge64\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-16\ge0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\) (thỏa mãn (*))
Vậy để \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\) thì \(m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\)