Question

[Nguyễn Hồng Anh]

Cho hàm số \(y=x^3-3\left(m+1\right)x^2+9x-m\) (1) với m là tham số thực

Xác định m để hàm số (1) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\le2\)

 

Answer 1

[Nguyễn Bình Nguyên]

Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là  \(x_1,x_2\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2\left(m+1\right)x+3=0\) có hai nghiệm phân biêt  \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\Leftrightarrow\begin{cases}m>-1+\sqrt{3}\\m<-1-\sqrt{3}\end{cases}\) (1)Theo định lí Viet ta có  \(x_1+x_2=2\left(m+1\right)\) \(x_1,x_2=3\)Khi đó \(\left|x_1-x_2\right|\le2\)  \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le4\)                        \(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-12\le4\)                        \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\le4\)                        \(\Leftrightarrow-3\le m\)\(\le1\) (2)Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là \(-3\le m<-1-\sqrt{3}\) và\(-1+\sqrt{3}\)<m\(\le1\)