Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f'\left(x\right)=6\left(x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)=0\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> \(f'\left(x\right)=0\) hay \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-1\right)^2-4m\left(1-2m\right)=\left(3m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne\frac{1}{3}\)
Ta có \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\left[2x+\left(m+1\right)\right]-\left(3m-1\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)
Với \(m\ne\frac{1}{3}\) thì \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) và hàm số đạt cực trị tại \(x_1;x_2\)
do \(\begin{cases}g\left(x_1\right)=0\\g\left(x_2\right)=0\end{cases}\) suy ra đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là
\(\Delta:y=-\left(3m-1\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)
Ta có cực địa, cực tiểu nằm trên đường thẳng \(y=-4x\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\left(3m-1\right)^2=-4\\m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left|3m-1\right|=2\\m\in\left\{0;1;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=1\)
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)\)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.
=> \(3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)
Khi đó ta có:
\(y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5\)
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)\)
\(y'\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{5}{9}\).
\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.
Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:
\(y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}\)
lưa ý pt \(x^2=m^2-m+1\)có nghiệm với x phải #0 vì nếu = 0 thì trùng => sai
nhưng nghiệm \(\left(+,-\right)\sqrt{m^2-m+1}\)luôn #0 rồi khỏi lo
\(y'=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m\)
ta có y/y'=\(\left(3m-1\right)x+m^3+m^2+m\)
suy ra y= \(\left(3m-1\right)x+m^3+m^2+m\)là pt của dường thẳng đi qua A và B
de-ta \(=9\left(m+1\right)^2-36m\)
y' có 2 \(n_o\)phân biệt khi m#1
hai hoành độ của hai điểm cực trị là :
\(X=\dfrac{-b\left(+,-\right)\sqrt{deta}}{a}=\)
\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{2}\\\dfrac{3m-1}{2}\end{matrix}\right.\)<=>y=\(\left[{}\begin{matrix}2m^3+5m^2+10m+3\\2m^3+11m^2+4m+1\end{matrix}\right.\)(tìm y bằng cách thế x vào pt đường thẳng )
khoảng cách giữa hai điểm AB =\(\sqrt{2}\)
ta có pt : \(2=\left(\dfrac{m+3}{2}-\dfrac{3m-1}{2}\right)^2+\left(2m^3+5m^2+10m-3-\left(2m^3+11m^2-4m+1\right)\right)^2\)
lại sai chỗ nào rồi 0 ra nghiệm , cậu tính lại thử , cách giả là như vậy
Ta có \(y'=3x^2-4\left(m-1\right)x+9\)
y' là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) khi và ch ỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-27>0\) \(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m>1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\\m<1-\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{cases}\) (1)
Theo Viet \(x_1+x_2=\frac{4\left(m-1\right)}{3}\); \(x_1x_2=3\)
Khi đó \(\left|x_1-x_2\right|=2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{16\left(m-1\right)^2}{9}-12=4\)
\(y'\left(x\right)=x^2+2\left(m^2-m+2\right)x+3m^2+1\) \(\Rightarrow y''\left(x\right)=2x+2\left(m^2-m+2\right)\)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 thì \(\begin{cases}y'\left(-2\right)=0\\y''\left(-2\right)=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}-m^2+4m-3=0\\m^2-m>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-3\right)=0\\m\left(m-1\right)>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow m=3\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m\in D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) (*)
Với điều kiện này thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m\) Suy ra :
\(\left|x_1-x_2\right|\ge8\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|^2\ge64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge64\Leftrightarrow4m^2-4m\ge64\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-16\ge0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\) (thỏa mãn (*))
Vậy để \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\) thì \(m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)
Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)
Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :
\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)
\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)
=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)
Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)
Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Ta có: y'= x2 - 3x - m -1 + (2x - 3)( x - m) = 3x2 - (2m + 6)x + 2m-1
y'=0 ↔ 3x2 - (2m + 6)x + 2m-1 = 0 (1)
Để hàm số y= (x - m)( x2 - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thì phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt ↔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ↔ Δ' > 0 ↔ (m+3)2 - 3(2m-1) >0 ↔ m2 + 12 > 0 ( mọi m)
→ Hầm số luôn có cả cực đại và cực tiểu.
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (1)
Khi đó, theo định lý Vi-ét, nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 = ( 2m+6)/3 ; x1x2= (2m -1)/3
Theo bài ra, ta có: | xCĐ - xCT| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)
↔| x1 - x2| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) ↔ 9| x1 - x2|2 \(\ge\) 52 ↔ 9( x1 + x2)2 - 36x1x2 \(\ge\) 52
↔ m2 \(\ge\) 1
→ \(m\ge1\) hoặc \(m\le-1\)
Hàm số xác định trên R
Ta có \(y'=3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1\)
\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1=0\left(1\right)\)
Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2+7>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge\frac{52}{9}\end{cases}\)
Theo định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\frac{2m-1}{3}\end{cases}\)
Suy ra \(\left(\frac{2\left(m+3\right)}{3}\right)^2-4\frac{2m-1}{3}\ge\frac{52}{9}\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))
Vậy m\(\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))
Ta có \(f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c;f"\left(x\right)=6ax+2b\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}f'\left(0\right)=0\\f"\left(0\right)>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\2b>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\b>0\end{cases}\left(1\right)\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x=1\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}f'\left(1\right)=0\\f"\left(1\right)< 0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}3a+2b+c=0\\6a+2b< 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}f\left(0\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
Kiểm tra lại \(f\left(x\right)=-2x^3+3x^2\)
Ta có \(f'\left(x\right)=-6x^2+6x;f"\left(x\right)=-12x+6\)
\(f"\left(0\right)=6>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\)
\(f"\left(1\right)=-6< 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=1\)
Vậy \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
